Закон больших чисел - OXFORDST.RU

Закон больших чисел

Закон больших чисел и то, чем он не является

О законе больших чисел (збч) написано много (например, на английском, тут и тут, также [1]). В этом тексте я попробую рассказать о том, чем закон больших чисел не является – об ошибочном восприятии этого закона и потенциальных ловушках, спрятанных в математических формулировках.

Начнем с того, что же такое закон больших чисел. Неформально, это математическая теорема о том, что «вероятность отклонений среднего по выборке от математческого ожидания мала» и что «эта вероятность стремится к нулю при увеличении выборки». Совсем неформально, теорема утверждает, что с мы можем быть в достаточной степени уверены, что среднее по нашей выборке достаточно близко к «настоящему» среднему и таким образом хорошо его описывает. Разумеется, предполагается наличие традиционного статистического «багажа» — наши наблюдения из выборки должны описывать одно и то же явление, они должны быть независимы, и мысль о том, что есть некоторое «настоящее» распределение с «настоящим» средним, не должна вызывать у нас существенных сомнений.

При формулировке закона мы говорим «среднее по выборке», и все что может быть математически записано как такое среднее, попадает под действие закона. Например, доля событий в общей массе может быть записана как среднее, — нам достаточно записать наличие события как «1» и отсутствие как «0». В итоге среднее будет равно частоте и частота должна быть близка к теоретическому среднему. Именно поэтому по ожидаем, что доля «орлов» при подбрасывании идеальной монеты будет близка к ½.

Рассмотрим теперь ловушки и ошибочные представления об этом законе.

Во-первых, ЗБЧ не всегда верен. Это всего лишь математическая теорема с «входными данными» — предположениями. Если предположения неверны, то и закон не обязан выполняться. Например, это так если наблюдения зависимы, или если нет уверенности в том, что «настоящее» среднее существует и конечно, или если изучаемое явление меняется во времени и мы не можем утверждать, что мы наблюдаем одну и ту же величину. По правде говоря, в определенной степени ЗБЧ верен и в этих случаях, например, для слабокоррелированных наблюдений или даже в том случае когда наблюдаемая величина меняется во времени. Однако, для корректного приложения этого к непосредственной реальности нужен хорошо тренированный специалист-математик.

Во-вторых, кажется верным, что ЗБЧ утверждает «среднее по выборке близко к настоящему среднему». Однако, такое утверждаение остается не полным: надо обязательно добавлять «с высокой долей вероятности; и эта вероятность всегда меньше 100%».

В-третьих, хочется сформулировать ЗБЧ как «среднее по выборке сходится к настоящему среднему при неограниченном росте выборки». Однако, это неверно, потому что среднее по выборке вообще никуда не сходится, так как оно случайное и остается таковым для любого размера выборки. Например, даже если подбросить симметричную монету миллион раз, все равное есть шанс, что доля орлов будет далека от ½ или даже равна нулю. В определенном смысле, всегда есть шанс получить что-то необычное. Надо признать, однако, что наша интуиция все-таки подсказыает нам что ЗБЧ должен описывать какую-то сходимость, и так есть на самом деле. Только «сходится» не среднее, а «вероятность отклонения выборочного среднего от его истинного значения», и сходится к нулю. Так как эта идея интуитивно очень удобна («шансы увидеть что-то необычное стремятся к нулю»), матетматики придумали для этого особый тип сходимости – «сходимость по вероятности».

В-четвертых, ЗБЧ не говорит ничего о том, когда выборочное среднее можно считать достаточно близким к теоретическому. Закон больших чисел только постулирует существование определенного явления, он ничего не говорит о том, когда его можно использовать. Получается, на ключевой вопрос с точки зрения практики — «могу ли я использовать ЗБЧ для моей выборки размера n?», закон больших чисел не отвечает. Ответы на эти вопросы дают другие теоремы, например, Центральная Предельная Теорема. Она дает представление о том, в каких пределах выборочное среднее может отклоняться от своего истинного значения.

В заключение следует отметить центральную роль ЗБЧ в статистике и теории вероятностей. История этого закона началась тогда, когда ученые заметили, что частоты некоторых повторяющихся явлений стабилизируются и перестают существенно меняться, при условии многократного повторения опыта или наблюдения. Поразительным было то, что эта «стабилизация частот» наблюдалась для совершенно несвязаных явления – от бросания игральной кости до урожайности в сельском хозяйстве, указывая на возможное существование «закона природы». Интересно, что этот закон природы оказался частью математики, а не физики, химии или биологии, как обычно бывает с законами природы.

[1] Illustrating the Law of Large Numbers (and Confidence Intervals) Jeffrey D Blume & Richard M Royall

Закон больших чисел

Из Википедии — свободной энциклопедии

Закон больших чисел (ЗБЧ) в теории вероятностей — принцип, описывающий результат выполнения одного и того же эксперимента много раз. Согласно закону, среднее значение конечной выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения.

Закон больших чисел важен, поскольку он гарантирует устойчивость для средних значений некоторых случайных событий при достаточно длинной серии экспериментов.

Важно помнить, что закон применим только тогда, когда рассматривается большое количество испытаний.

Энциклопедичный YouTube

Субтитры

Давайте разберем закон больших чисел, который является, пожалуй, самым интуитивным законом в математике и теории вероятностей. И поскольку он применим ко многим вещам, его иногда используют и понимают неправильно. Давайте я вначале для точности дам ему определение, а потом уже мы поговорим об интуиции. Возьмем случайную величину, например Х. Допустим, мы знаем ее математическое ожидание или среднее для совокупности. Закон больших чисел просто говорит, что, если мы возьмем пример n-ого количества наблюдений случайной величины и выведем среднее число всех этих наблюдений… Давайте возьмем переменную. Назовем ее Х с нижним индексом n и с чертой наверху. Это среднее арифметическое n-ого количества наблюдений нашей случайной величины. Вот мое первое наблюдение. Я провожу эксперимент один раз и делаю это наблюдение, затем я провожу его еще раз и делаю вот это наблюдение, я провожу его снова и получаю вот это. Я провожу этот эксперимент n-ое количество раз, а затем делю на количество моих наблюдений. Вот мое выборочное среднее значение. Вот среднее значение всех наблюдений, которые я сделала. Закон больших чисел говорит нам, что мое выборочное среднее будет приближаться к математическому ожиданию случайной величины. Либо я могу также написать, что мое выборочное среднее будет приближаться к среднему по совокупности для n-ого количества, стремящегося к бесконечности. Я не буду четко разделять понятия «приближение» и «сходимость», но надеюсь, вы интуитивно понимаете, что, если я возьму довольно большую выборку здесь, то я получу математическое ожидание для совокупности в целом. Думаю, большинство из вас интуитивно понимает, что, если я сделаю достаточное количество испытаний с большой выборкой примеров, в конце концов, испытания дадут мне ожидаемые мною значения, принимая во внимание математическое ожидание, вероятность и все такое прочее. Но, я думаю, часто бывает непонятно, почему так происходит. И прежде, чем я начну объяснять, почему это так, давайте я приведу конкретный пример. Закон больших чисел говорит нам, что. Допустим, у нас есть случайная величина Х. Она равна количеству орлов при 100 подбрасываниях правильной монеты. Прежде всего, мы знаем математическое ожидание этой случайной величины. Это количество подбрасываний монеты или испытаний, умноженное на шансы успеха любого испытания. Значит, это равно 50-ти. То есть, закон больших чисел говорит, что, если мы возьмем выборку, или если я приведу к среднему значению эти испытания, я получу. В первый раз, когда я провожу испытание, я подбрасываю монету 100 раз или возьму ящик с сотней монет, тряхну его, а потом сосчитаю, сколько у меня выпадет орлов, и получу, допустим, число 55. Это будет Х1. Затем я снова встряхну ящик и получу число 65. Затем еще раз – и получу 45. И я проделываю это n-ое количество раз, а затем делю это на количество испытаний. Закон больших чисел говорит нам, что это среднее (среднее значение всех моих наблюдений) будет стремиться к 50-ти в то время, как n будет стремиться к бесконечности. Теперь я бы хотела немного поговорить о том, почему так происходит. Многие считают, что если после 100 испытаний, у меня результат выше среднего, то по законам вероятности у меня должно выпасть больше или меньше орлов для того, чтобы, так сказать, компенсировать разницу. Это не совсем то, что произойдет. Это часто называют «заблуждением азартного игрока». Давайте я покажу различие. Я буду использовать следующий пример. Давайте я изображу график. Поменяем цвет. Это n, моя ось Х – это n. Это количество испытаний, которые я проведу. А моя ось Y будет выборочным средним. Мы знаем, что математическое ожидание этой произвольной переменной равно 50-ти. Давайте я это нарисую. Это 50. Вернемся к нашему примеру. Если n равно… Во время моего первого испытания я получила 55, это мое среднее значение. У меня только одна точка ввода данных. Затем, после двух испытаний, я получаю 65. Значит, мое среднее значение будет 65+55, деленное на 2. Это 60. И мое среднее значение немного возросло. Затем я получила 45, что вновь снизило мое среднее арифметическое. Я не буду наносить на графике 45. Теперь мне нужно привести все это к среднему значению. Чему равно 45+65? Давайте я вычислю это значение, чтобы обозначить точку. Это 165 делить на 3. Это 53. Нет, 55. Значит, среднее значение снова опускается до 55-ти. Мы можем продолжить эти испытания. После того, как мы проделали три испытания и получили это среднее, многие люди думают, что боги вероятности сделают так, что у нас выпадет меньше орлов в будущем, что в следующих нескольких испытаниях результаты будут ниже, чтобы уменьшить среднее значение. Но это не всегда так. В дальнейшем вероятность всегда остается такой же. Вероятность того, что у меня выпадет орел, всегда будет 50-ти %. Не то, что у меня изначально выпадает определенное количество орлов, большее, чем я ожидаю, а дальше внезапно должны выпасть решки. Это «заблуждение игрока». Если у вас выпадает несоразмерно большое количество орлов, это не значит, что в определенный момент у вас начнет выпадать несоразмерно большое количество решек. Это не совсем так. Закон больших чисел говорит нам, что это не имеет значения. Допустим, после определенного конечного количества испытаний, ваше среднее. Вероятность этого достаточно мала, но, тем не менее. Допустим, ваше среднее достигло этой отметки – 70-ти. Вы думаете: «Ого, мы основательно отошли от математического ожидания». Но закон больших чисел говорит, что ему все равно, сколько испытаний мы провели. У нас все равно осталось бесконечное количество испытаний впереди. Математическое ожидание этого бесконечного количества испытаний, особенно в подобной ситуации, будет следующим. Когда вы приходите к конечному числу, которое выражает какое-нибудь большое значение, бесконечное число, которое сойдется с ним, снова приведет к математическому ожиданию. Это, конечно, очень свободное толкование, но это то, что говорит нам закон больших чисел. Это важно. Он не говорит нам, что, если у нас выпало много орлов, то каким-то образом вероятность выпадения решки увеличится, чтобы это компенсировать. Этот закон говорит нам, что неважно, каков результат при конечном количестве испытаний, если у вас еще осталось бесконечное количество испытаний впереди. И если вы сделаете достаточное их количество, вы вернетесь снова к математическому ожиданию. Это важный момент. Подумайте о нем. Но это не используется ежедневно на практике с лотереями и в казино, хотя известно, что, если вы сделаете достаточное количество испытаний . Мы даже можем это посчитать. чему равна вероятность того, что мы серьезно отклонимся от нормы? Но казино и лотереи каждый день работают по тому принципу, что если взять достаточное количество людей, естественно, за короткий срок, с небольшой выборкой, то несколько человек сорвут куш. Но за большой срок казино всегда останется в выигрыше из-за параметров игр, в которые они приглашают вас играть. Это важный принцип вероятности, который является интуитивным. Хотя иногда, когда вам его формально объясняют со случайными величинами, все это выглядит немного запутанно. Все, что этот закон говорит, – это что чем больше выборок, тем больше среднее арифметическое этих выборок будет стремиться к истинному среднему. А если быть более конкретной, то среднее арифметическое вашей выборки сойдется с математическим ожиданием случайной величины. Вот и все. До встречи в следующем видео!

Читайте также  Законы электролиза Фарадея

Закон больших чисел

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия случайного события и случайной величины . При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Однако при неоднократном повторении испытаний наблюдаются закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Эти закономерности обладают свойством устойчивости . Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Пусть производится большая серия однотипных опытов. Исход каждого отдельного опыта является случайным, неопределенным. Однако, несмотря на это, средний результат всей серии опытов утрачивает случайный характер, становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел .

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел — это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли — простейшим.

В основе доказательства теорем, объединенных термином «закон больших чисел», лежит неравенство Чебышева, по которому устанавливается вероятность отклонения от ее математического ожидания:

Пример 81. Устройство состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время равна 0,03. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом (математическом ожиданием) отказов за время окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.

Решение. а). Обозначим через число отказавших элементов за время . Тогда [ ] = np = 100 ? 0,03 = 3 и [ ] = npq = 100 ? 0,03 ? 0,97 = 2,91 (см. пример ). Воспользуемся неравенством Чебышева:

подставив в него [ ] = 3, [ ] = 2,91, = 2, получим

б). События и противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,

Пример 82. Оценить вероятность события — [ ] , где — среднее квадратичное отклонение случайной величины .

Решение. Полагая = 3 , получим в правой части неравенства число Таким образом, вероятность события не меньше, чем

В действительности для подавляющего большинства встречающихся на практике случайных величин эта вероятность значительно ближе к единице, чем

В теореме Чебышева (справедлива как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин) утверждается, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. На практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. Очевидно, что если вновь допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Пример 83. Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера. При каких условиях этот способ измерения можно считать правильным?

Решение. Ответ на этот вопрос даст теорема Чебышева (ее частный случай). Рассмотрим результаты каждого измерения как случайные величины X , X , . X . К этим величинам можно применить теорему Чебышева, если: 1) они попарно независимы; 2) имеют одно и то же математическое ожидание; 3) дисперсии их ограничены.

Первое требование выполняется, если результат каждого измерения не зависит от результатов остальных. Второе требование выполняется, если измерения проведены без систематических (одного знака) ошибок. В этом случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны истинному размеру . Третье требование выполняется, если прибор обеспечивает определенную точность измерений. Хотя при этом результаты отдельных измерений различны, но рассеяние их ограничено. Если все указанные требования выполнены, мы вправе применить к результатам измерений теорему Чебышева: при достаточно большом вероятность неравенства

как угодно близка к единице. Другими словами, при достаточно большом числе измерений почти достоверно, что их среднее арифметическое как угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины.

Итак, теорема Чебышева указывает условия, при которых описанный способ измерения может быть применен. Однако, ошибочно думать, что увеличивая число измерений, можно достичь сколь угодно большой точности. Дело в том, что сам прибор дает показания лишь с точностью ; поэтому каждый из результатов измерений, а следовательно, и их среднее арифметическое будут получены лишь с точностью, не превышающей точности прибора.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят обо всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке. Доказательство Бернулли было сложным; простое доказательство дано П.Л. Чебышевым в 1846 г.

Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико. Другими словами, если сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

При доказательстве теоремы Бернулли получаем оценку

Как видим, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности (см. § 12 )

Пример 84. Оценим вероятность того, что при подбрасывании игральной кости 300 раз относительная частота появления шести очков отклонится от вероятности этого события не более чем на 0,01.

Решение. Для оценки события применим неравенство из доказательства теоремы Бернулли, где

Пример 85. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди 200 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 10 до 30 деталей.

Решение. Воспользуемся неравенством Чебышева, определив [ ] и .

[ ] = np = 200 0,1 = 20 и откуда = 10. Следовательно,

Вопросы для самоконтроля

Приведите геометрическую иллюстрацию неравенства Чебышева.

В чем смысл теоремы Чебышева?

Использование интегральной теоремы Муавра-Лапласа для доказательства теоремы Бернулли.

Как вы понимаете сходимость по вероятности?

Теорема Пуассона и ее применение в теории измерений.

Что вы понимаете под законом больших чисел?

Читайте также  Контрольная работа по Психологии и педагогике 3

Обобщение теоремы Чебышева.

Проведите эксперимент для иллюстрации закона больших чисел.

I 161. Оцените вероятность того, что — [ ] [ ] = 0,01.

162. Дано < - [ ] >0,8 и [ ] = 0,004. Используя неравенство Чебышева, оценить снизу.

163. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом включенных ламп за время окажется: а) меньше трех; б) не меньше трех.

164. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что

165. Изготовлена партия деталей. Среднее значение длины детали равно 30 см, а среднее квадратическое отклонение равно 0,2 см. Оцените снизу вероятность того, что длина наудачу взятой детали окажется не менее 29,5 см и не более 30,5 см.

166. Дисперсия каждой из 1000 независимых случайных величин равна 4. Оцените вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине не превысит 0,2.

II 167. Применима ли к последовательности независимых случайных величин , , . , . теорема Чебышева, если каждая случайная величина задана законом распределения

где постоянная величина > 0?

168. Каждая из 1000 независимых случайных величин имеет дисперсию, равную 4, а математические ожидания их одинаковы. Оцените вероятность того, что среднее арифметическое случайных величин отклонится от математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 0,1.

III 169. Применима ли к последовательности случайных величин , , . , . имеющих равномерное распределение в промежутке ] [, теорема Чебышева?

170. Пусть > 0 — неубывающая функция. Доказать, что если существует [ ( [ ] ], то

Закон больших чисел и центральная предельная теорема

п.1. Теорема Бернулли

Т.е., при большом количестве испытаний частота события стремится к его вероятности и перестает быть случайной.
Например, если число бросаний монеты (nrightarrowinfty), то отношение (fracrightarrowfrac12), число выпадения орлов в этом пределе равно половине всех испытаний.
Теорема Бернулли – это частный случай закона больших чисел.

п.2. Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева дает оценку верхней границы для вероятности отклонения величины от её среднего значения; или оценку нижней границы вероятности того, что величина попадет в ε-окрестность её среднего значения.
Что интересно, распределение величины x при этом может быть неизвестно.
Достаточно знать (D(x)).

Например:
Пусть дисперсия случайной величины равна (D(x)=1,5). Оценим вероятность того, что случайная величина не отклонится от среднего значения больше, чем на (varepsilon=2).
Ищем оценку: (P(|x-M(x)|ltvarepsilon)geq 1-frac)
(P(|x-M(x)|lt 0,1)geq 1-frac<1,5><2^2>=1-frac38=frac58=0,625)
(Pgeq 0,625)

п.3. Неравенство Маркова

Pаспределение величины x при этом может быть неизвестно.
Достаточно знать (M(x)).

Например:
Пусть в среднем ученики опаздывают на 2 минуты. Какова вероятность, что ученик опоздает более чем на 10 минут?
В данном случае (varepsilon=10, M(x)=2). Получаем оценку вероятности:
(P(xgeq varepsilon)leq frac)
(P(xgeq 10)leq frac<2><10>=0,2)
(Pleq 0,2)

п.4. Закон больших чисел

Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.
Т.е., при большом числе случайных величин их средняя величина перестает быть случайной и может быть предсказана с большой степенью определенности.
Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к определенным постоянным, неслучайным величинам.

В более широкой формулировке (для зависимых случайных величин и разных мат.ожиданий):

п.5. Стандартное нормальное распределение

Наиболее простым случаем нормального распределения является стандартное нормальное распределение N(0;1) со средней (mu=0) и дисперсией (sigma^2=1).
Плотность распределения в этом случае: $$ varphi(x)=frac<1>>e^<-frac<2>> $$ В MS Excel для плотности стандартного нормального распределения используется встроенная функция НОРМРАСП(x;0;1;0).
График плотности распределения N(0;1):

Функция распределения N(0;1): $$ F_0(x)=int_<-infty>^x varphi(x)dx=frac<1>>int_<-infty>^x e^<=frac2>dx $$ В MS Excel для функции стандартного нормального распределения используется встроенная функция НОРМРАСП(x;0;1;1).
График функции распределения N(0;1):

Исторически сложилось так, что для расчетов часто используется функция Лапласа : $$ Ф(x)=F_0(x)-frac12 $$
Её преимуществом является нечетность: (Φ(-x)=-Φ(x).)
Т.е., если у вас под рукой нет MS Excel, но есть таблица, то там, скорее всего, будет функция Лапласа (Φ(x)) для (xgeq 0), а не функция распределения (F_0(x)) для (xinmathbb).

п.6. Центральная предельная теорема

Законы больших чисел не учитывают формы распределения случайных величин.
Центральная предельная теорема устанавливает условия, при которых распределение случайных величин стремится к нормальному.

Частными случаями ЦПТ являются теоремы Муавра-Лапласа.

Например:
Вероятность рождения мальчика равна (p=0,51). Найдем вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется ровно 50 мальчиков.
По условию: (n=100; k=50)
Тогда: (mu=np=100cdot 0,51=51)
(sigma=sqrt=sqrt<100cdot 0,51cdot 0,49>=sqrt<24,99>)
(x=frac=frac<50-51>>approx -0,20004)
Используя функцию MS Excel НОРМРАСП(x;0;1;0), получаем:
(varphi(x)approx 0,3910)
(P(50)approx frac<0,3910>>approx 0,0782)

Очевидно, что разность двух значений функций Лапласа равна разности двух значений функций распределения.
Если у вас под рукой MS EXCEL, используйте НОРМРАСП(x;0;1;1), т.е. функцию распределения (F_0(x)).
Если у вас под рукой таблицы, используйте (Φ(x)), т.е. функцию Лапласа и её нечетность.

Например:
Найдем вероятность того, что при подбрасывании монеты 500 раз орел выпадет от 240 до 255 раз.
По условию: (n=500; k_1=240; k_2=255)
Для подбрасывания монеты (p=frac12)
Тогда: (mu=np=500cdotfrac12=250)
(sigma=sqrt=sqrt<500cdot frac12cdot frac12>=5sqrt<5>)
(x_1=frac=frac<240-250><5sqrt<5>>=-frac<10><5sqrt<5>>=-frac<2>>)
(x_2=frac=frac<255-250><5sqrt<5>>=frac<5><5sqrt<5>>=frac<1>>)
Используя функцию MS Excel НОРМРАСП(x;0;1;1), получаем:
(P(240leq Xleq 255)approx F_0(x_2)-F_0(x_1)=0,6727-0,1855=0,4871)

п.7. Примеры

Пример 1. Ежегодная потребность школы в электроэнергии равна 400 кВт·ч. Какой расход электроэнергии в будний день можно наблюдать с вероятностью не менее 0,8?
Будних дней в течение года 250.

Среднее потребление электроэнергии в будний день: (M(x)=frac<400><250>=1,6) кВт—ч/день
По неравенству Маркова:
(P(xltvarepsilon)geq 1-frac=0,8)
(frac=0,2) (varepsilon=frac<0,2>=frac<1,6><0,2>=8)
Откуда (xlt 8) кВт·ч/день
Ответ: с вероятностью 0,8 ежедневный расход не будет превышать 8 кВт·ч/день

Пример 2. Дисперсия потребления электроэнергии школой в будний день составляет (D(x)=7) (кВт·ч/день) 2 . Какой расход электроэнергии в будний день можно наблюдать с вероятностью не менее 0,8 при среднем потреблении (M(x)=1,6) кВт·ч/день?

По неравенству Чебышева:
(P(|x-M(x)|ltvarepsilon)geq 1-frac)
(P(|x-1,6|ltvarepsilon)geq 1-frac<7>=0,8)
(frac<7>=0,2)
(varepsilon=sqrt<0,2>>=sqrt<35>approx 5,9)
Интервал энергопотребления: (M(x)-varepsilonlt xlt M(x)+varepsilon)
(1,6-5,9lt xlt 1,6+5,9)
Потребление может быть только положительным (xgt 0).
Получаем: (0lt xlt 7,5)
Ответ: с вероятностью 0,8 ежедневный расход находится в интервале (0lt xlt 7,5) кВт·ч/день

Пример 3. Страховая компания заключила 50000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому из них в течение года равна 2%. Найти вероятность того, что таких случаев будет:
а) ровно 950;
б) не более 1000;
в) сколько случаев будет с вероятностью 0,9?

в) По неравенству Чебышева:
(P(|x-M(x)|ltvarepsilon)geq 1-frac)
(M(x)=mu=1000; D(x)=sigma^2=980)
(P(|x-1000|ltvarepsilon)geq 1-frac<980>=0,9)
(frac<980>=0,1)
(varepsilon-sqrt<0,1>>=sqrt<9800>=70sqrt<2>)
Интервал страховых случаев: (M(x)-varepsilonlt xlt M(x)+varepsilon)
(1000-70sqrt<2>lt xlt 1000 +70sqrt<2>)
(901lt xlt 1099)
С вероятностью 0,9 страховых случаев будет от 901 до 1099.

Читайте также  Люминесценция, её виды

Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева

На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач по теории вероятностей, в которых применяются неравенство Маркова, неравенство Чебышева, теорема Чебышева и их следствия (закон больших чисел, ЗБЧ).

Краткая теория. Закон больших чисел

Неравенство Маркова дает вероятностную оценку того, что значение неотрицательной случайной величины превзойдет некоторую константу через известное математическое ожидание. Когда никаких других данных о распределении нет, неравенство дает некоторую информацию, хотя зачастую оценка груба или тривиальна.

Пусть $X$ — случайная величина, принимающая неотрицательные значения, $M(X)$ — ее конечное математическое ожидание, то для любых $a gt 0$ выполняется

Альтернативная форма записи (когда нужно оценить вероятность того, что СВ меньше некоторой константы):

Когда известны не только математическое ожидание (первый момент), но и дисперсия (второй центральный момент) для случайной величины (и они конечны), можно применять следствие неравенства Маркова — неравенство Чебышева, которое дает оценку вида:

$$ P(|X-M(X)| ge a) le frac, quad a gt 0. $$

Также его можно записать в другой форме:

$$ P(|X-M(X)| lt a) gt 1- frac, quad a gt 0. $$

Неравенство Чёбышева показывает, что случайная величина принимает значения близкие к среднему (математическому ожиданию) и дает оценку вероятности больших отклонений. Положим $a=ksigma$, где $sigma$ — стандартное отклонение, тогда получим оценку вероятности того, что СВ отклонится по модулю от среднего больше чем на $ksigma$:

Для значения $k=2$ вероятность отклонения меньше 25%, для $k=3$ — уже 11,12%.

Для случайной величины $X$, распределенной по биномиальному закону с параметрами $n, p$, неравенство Чебышева принимает вид:

Для частоты $k/n$ появления события в $n$ независимых испытаниях, в каждом из которых оно происходит с вероятностью $M(k/n)=p$ (дисперсия этой величины $D(k/n)=pq/n$) получаем:

$$ Pleft(left|frac-p right| lt aright) gt 1- frac. $$

Последнее неравенство также известно как неравенство из теоремы Бернулли. Из него также есть следствие, которое позволяет оценить отклонение числа $m$ появлений события в $n$ испытаниях от ожидаемого значения $np$:

$$ Pleft(left|m-np right| lt aright) gt 1- frac. $$

Приведем также теорему Чебышева, которая имеет большое практические значение.

Если дисперсии $n$ независимых случайных величин $X_1, X_2, . X_n$ ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа $n$ средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий $a_1, a_2. a_n$, т.е.

Следствие: Если независимые случайные величины $X_1, X_2, . X_n$ имеют одинаковые математические ожидания, равные $a$, а их дисперсии ограничены одной и то же постоянной $C$, то:

Это означает, что при большом числе случайных величин практически достоверно, что их средняя арифметическая (случайная величина) как угодно мало отличается от неслучайной величины $a$ (среднего значения).

Примеры решенных задач

Неравенство Маркова: примеры решений

Задача 1. Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор: а) превысит 400; б) будет не более 500.

Задача 2. Количество потребляемой за сутки электроэнергии предприятием является случайной величиной с математическим ожиданием 6 мегаватт при среднем квадратическом отклонении 1,5 мегаватта. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки потребление электроэнергии окажется более 12 мегаватт.

Задача 3. Средняя температура воздуха в июле в данной местности 20?С. Оценить вероятность того, что в июле следующего года средняя температура воздуха будет:
а) не более $15^<0>С$;
б) более $20^<0>С$.

Неравенство Чебышева: примеры решений

Задача 4. В 1600 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,3. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 50.

Задача 5. . Генератор обеспечивает выходное напряжение, которое может отклоняться от номинального на значение, не превышающее 1 В, с вероятностью 0,95. Какие значения дисперсии выходного напряжения можно ожидать?

Задача 6. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется меньше двух.

Теорема Чебышева и ЗБЧ: примеры решений

Задача 7. Дана последовательность независимых случайных величин $X_1, X_2, . X_n, . $ Случайная величина $X_k$ может принимать значения: $-n alpha, 0, n alpha$ ($alpha gt 0$) с вероятностями, соответственно равными: $1/2n^2, 1-1/n^2, 1/2n^2$. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?

Задача 8. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превышает 0,5, равна 0,8. Дисперсия каждой независимой случайной величины не превышает 7. Найти число таких случайных величин.

Задача 9. Дисперсия каждой из 2500 независимых СВ не превышает 5. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превысит 0,4.

Задача 10. Случайная величина $X_N$ принимает значения $exp(N ln 0,5)$ и $exp(N ln 1,2)$ с одинаковыми вероятностями. Можно ли к последовательности $X_N$ применить закон больших чисел?

Решебник по терверу

Нужны еще решения? Найди в решебнике сейчас:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: