Вычисление обратной матрицы - OXFORDST.RU

Вычисление обратной матрицы

Что такое обратная матрица

Сложная тема из линейной алгебры.

Недавно мы начали говорить о линейной алгебре и матрицах. Сначала всё было хорошо и легко:

Но начав заниматься линейной алгеброй, бывает трудно остановиться. Сегодня мы познакомимся с обратной матрицей и научимся её вычислять. Это навык, который в будущем нам пригодится для решения матричных уравнений.

С точки зрения арифметики материал не сложный. Но он требует вдумчивого чтения для понимания правил. В итоге статья довольно большая, мозги кипят и танки наши быстры.

Читать ли эту статью?

❌ Если вам нужны простые быстрые решения для жизни — нет, можно объявить, что у вас сегодня выходной.

✅ Если вашему мозгу не хватает вызова и новых горизонтов — велком ту зе матрикс.

Обратное — это как?

В математике есть взаимно обратные числа. Они получаются так: вы берёте какое-то число, добавляете отрицательную степень и получаете обратное число:

Обратные числа при умножении друг на друга всегда дают единицу:

Обратная матрица

В линейной алгебре есть обратные матрицы. По свойствам они напоминают обратные числа: если обычную матрицу умножить на обратную к ней, получится единичная матрица.

Единичная матрица работает как единица с числами: если умножить любое число на единицу, получится исходное число; если умножить любую матрицу на единичную матрицу — получится исходная матрица:

Единичная матрица состоит из единиц и нулей: на диагонали находятся единицы; остальные элементы — нули. Единичные матрицы не используются при расчёте обратных матриц, но без них не получится решать матричные уравнения.

Пример квадратной единичной матрицы размером 5×5. Единичная матрица может быть любого размера — состоять из любого количества строк и столбцов

Как рассчитать обратную матрицу

Для расчёта обратной матрицы нужно выполнить три действия. Пока что не обращайте внимание на термины:

  1. Разделить единицу на матричный определитель.
  2. Найти транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
  3. Перемножить полученные значения.

Далее мы по порядку во всём разберёмся.

Формула расчёта обратной матрицы: |A| — матричный определитель; Aᵀᵢⱼ — матрица алгебраических дополнений

Определитель — это особое число, которое «определяет» свойства матрицы.

Порядок вычисления определителя зависит от размера матрицы, которому он соответствует — чем больше матрица, тем сложнее считать определитель. Мы только знакомимся с матрицами, поэтому остановимся на определителях второго и третьего порядка — они подходят для квадратных матриц размером 2×2 и 3×3.

Чтобы найти определитель второго порядка, нам достаточно умножить элементы главной диагонали и вычесть из значения произведение чисел второй диагонали.

Формула для расчёта определителя второго порядка

Пример расчёта определителя второго порядка

Определитель третьего порядка находится путём умножения диагоналей на треугольники. Здесь много операций, поэтому формулу соберём по частям.

Сначала работаем по главной диагонали: идём от верхнего левого элемента и движемся к правому нижнему элементу. Перемножаем элементы между собой.

Считаем определитель третьего порядка: 1-й этап — главная диагональ

Прибавляем к произведению элементов первой диагонали произведение первого треугольника. Основание первого треугольника находится параллельно главной диагонали и состоит из элементов А₂₁ и А₃₂. Вершина — элементА₁₃.

Считаем определитель третьего порядка: 2-й этап — первый треугольник

Прибавляем к полученному результату произведение второго треугольника, в котором основание состоит из элементов А₁₂ и А₂₃, а вершина — А₃₁.

Считаем определитель третьего порядка: 3-й этап — второй треугольник

Вычитаем из полученного значения произведение элементов второй диагонали. Вторая диагональ начинается в левом нижнем углу и идёт в правый верхний угол.

Считаем определитель третьего порядка: 4-й этап — вторая диагональ

Вычитаем произведение элементов третьего треугольника, в котором основание — элементы А₁₂ и А₂₁, а вершина — А₃₃.

Считаем определитель третьего порядка: 5-й этап — третий треугольник

Последний шаг: вычитаем произведение четвёртого треугольника, с основанием из элементов А₂₃ и А₃₂ и вершиной А₁₁.

Считаем определитель третьего порядка: 6-й этап — четвёртый треугольник

Общий вид формулы для расчёта определителя третьего порядка

Пример расчёта определителя третьего порядка

Транспонированная матрица алгебраических дополнений вычисляется в три шага:

  1. Мы из исходной матрицы находим матрицу миноров.
  2. Меняем в матрице миноров знак некоторых элементов и получаем матрицу алгебраических дополнений.
  3. Находим транспонированную матрицу из матрицы алгебраических дополнений.

Алгоритм вычислений матрицы миноров и матрицы алгебраических дополнений зависит от размера исходной матрицы — чем она больше, тем сложнее формула расчёта. Поэтому мы рассматриваем только матрицы второго и третьего порядка.

Чтобы найти матрицу миноров второго порядка, нам нужно последовательно зачеркнуть три элемента исходной матрицы:

  • Вычёркиваем первую строку и первый столбец исходной матрицы — получаем первый элемент первой строки матрицы миноров.
  • Вычёркиваем первую строку и второй столбец — получаем второй элемент первой строки матрицы миноров.
  • Вычёркиваем вторую строку и первый столбец — получаем первый элемент второй строки матрицы миноров.
  • Вычёркиваем вторую строку и второй столбец — получаем второй элемент второй строки матрицы миноров.

Когда матрица миноров составлена — меняем знаки элементов второй диагонали и получаем матрицу алгебраических дополнений. Теперь берём эту матрицу и проводим транспонирование — меняем расположение строк и столбцов. Готово.

Пример вычисления матрицы миноров из матрицы второго порядка

Пример вычисления матрицы алгебраических дополнений (Aᵢⱼ ) из матрицы миноров второго порядка

Пример вычисления транспонированной матрицы алгебраических дополнений (Aᵀᵢⱼ), полученной из матрицы миноров второго порядка

Матрица миноров третьего порядка рассчитывается по следующему принципу:

  1. Последовательно вычёркиваем строки и столбцы.
  2. Получаем четыре элемента и считаем определитель.
  3. Записываем результат в матрицу миноров третьего порядка.

Чтобы не запоминать порядок вычёркивания элементов — попробуйте схему:

  1. Определите элемент, который вы ищете для матрицы. Пусть это будет A₁₁.
  2. Найдите этот же элемент в исходной матрице и отметьте его точкой.
  3. Проведите от этой точки две линии: вдоль строки и вдоль столбца.

После вычёркивания останется квадратная двухразмерная матрица, определитель которой равен разности произведений двух диагоналей.

Пример вычисления первого элемента матрицы миноров из матрицы третьего порядка. Треугольник, или греческая дельта, — это обозначение определителя вне матрицы

Матрицу миноров третьего порядка удобно находить на бумаге с помощью ручки, карандаша и ластика — записываете исходную матрицу, карандашом вычёркиваете линии, считаете определитель, вытираете линии и повторяете процедуру. Рекомендуем попробовать и сверить результат с нашими расчётами.

Обратные матрицы

Матрица обратима, если ее определитель отличен от нуля. Если A — обратимая матрица, то обратная ей матрица есть $A^<-1>=frac<1> cdot adj(A)$. $adj(A)$ — присоединённая матрица исходной матрицы A.

Вычисление обратной матрицы

  1. Вычисляем определитель матрицы.
  2. Записываем транспонированную матрицу.
  3. Заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением. Полученная матрица является присоединённой матрицей.
  4. Вычисляем обратную матрицу.

Пример 46
$A=begin 1 & 3\ 2 & 5 end$

$left|Aright|=1cdot 5-6=-1$
Матрица обратима, значит, можно найти обратную ей матрицу.

Заменяем элементы транспонированной матрицы их алгебраическими дополнениями.

Читайте также  Литература Древней Руси

$1longrightarrow (-1)^<1+1>cdot Delta_<1,1>=(-1)^<2>cdot5 = 5$
$2longrightarrow (-1)^<1+2>cdot Delta_<1,2>=(-1)^<3>cdot3 = -3$
$3longrightarrow (-1)^<2+1>cdot Delta_<2,1>=(-1)^<3>cdot2 = -2$
$5longrightarrow (-1)^<2+2>cdot Delta_<2,2>=(-1)^<4>cdot1 = 1$

$left|Bright|=2cdot 6-(-7)cdot (-1) = 5$

Матрица обратима, значит, можно найти обратную ей матрицу.
$A^= begin 2 & -1\ -7 & 6 end$

Заменяем элементы транспонированной матрицы их алгебраическими дополнениями.
$2longrightarrow (-1)^<1+1>cdot Delta_<1,1>=(-1)^<2>cdot6 = 6$
$-1longrightarrow (-1)^<1+2>cdot Delta_<1,2>=(-1)^<3>cdot(-7) = 7$
$-7longrightarrow (-1)^<2+1>cdot Delta_<2,1>=(-1)^<3>cdot(-1) = 1$
$6longrightarrow (-1)^<2+2>cdot Delta_<2,2>=(-1)^<4>cdot2 = 2$

Пример 48
$C=begin 1 & 3 & 2\ 4 & 1 & 1\ 1 & 2 & 3\ end$

Вычисляем определитель по известной формуле и получаем $left|Bright|=-18$.

Матрица обратима, значит, можно найти обратную ей матрицу.
$C^=begin 1 & 4 & 1\ 3 & 1 & 2\ 2 & 1 & 3 end$

Заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением.
$ 1longrightarrow (-1)^<1+1>cdot Delta_<1,1>=(-1)^<2>cdot begin 1 & 2\ 1 & 3 end = 3 — 2 = 1$

$4longrightarrow (-1)^<1+2>cdot Delta_<1,2>=(-1)^<3>cdot begin 3 & 2\ 2 & 3 end = -(9-4)=-5$

$1longrightarrow (-1)^<1+3>cdot Delta_<1,3>=(-1)^<4>cdot begin 3 & 1\ 2 & 1 end = 3-2=1$

$3longrightarrow (-1)^<2+1>cdot Delta_<2,1>=(-1)^<3>cdot begin 4 & 1\ 1 & 3\ end = -(12-1)=-11$

$1longrightarrow (-1)^<2+2>cdot Delta_<2,2>=$ $(-1)^<4>cdotbegin 1 & 1\ 2 & 3\ end=3-2=1$

$2longrightarrow (-1)^<1+3>cdot Delta_<2,3>=$ $(-1)^<5>cdotbegin 1 & 4\ 2 & 1 end= -(1-8)=7$

$2longrightarrow (-1)^<3+1>cdot Delta_<3,1>=$ $(-1)^<4>cdotbegin 4 & 1\ 1 & 2 end=8-1=7$

$1longrightarrow (-1)^<3+2>cdot Delta_<3,2>=$ $(-1)^<5>cdot begin 1 & 1\ 3 & 2 end=-(2-3)=1$

$3longrightarrow (-1)^<3+3>cdot Delta_<3,3>=$ $(-1)^<6>cdotbegin 1 & 4\ 3 & 1 end=1-12=-11$

$adj(A)= begin 1 & -5 & 1\ -11 & 1 & 7\ 7 & 1 & -11 end$

Свойства обратной матрицы

Если A — обратимая матрица, то:
$Acdot A^ <-1>= A^<-1>cdot A=I_$

Пример 49
$A=begin 1 & 3\ 2 & 5 end$

$Acdot A^<-1>= begin 1 & 3\ 2 & 5 end begin -5 & 3\ 2 & -1 end=$ $begin 1cdot(-5)+3cdot2 & 1cdot3 + 3cdot(-1)\ 2cdot(-5)+5cdot2 & 2cdot3 +5cdot(-1) end = begin 1 & 0\ 0 & 1 end= I_<2>$

$A^<-1>cdot A= begin -5 & 3\ 2 & -1 end begin 1 & 3\ 2 & 5 end=$ $begin -5cdot1 + 3cdot2 & -5cdot3 + 3cdot 5\ 2cdot1 +(-1)cdot2 & 2cdot3 +(-1)cdot5 end= begin 1 & 0\ 0 & 1 end=I_<2>$

Как найти обратную матрицу?

Для любой невырожденной матрицы А существует и притом единственная матрица A -1 такая, что

где E — единичная матрица тех же порядков, что и А. Матрица A -1 называется обратной к матрице A.

Если кто-то забыл, в единичной матрице, кроме диагонали, заполненной единицами, все остальные позиции заполнены нулями, пример единичной матрицы:

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы

Обратная матрица определяется формулой:

Т.е. для вычисления обратной матрицы, нужно вычислить определитель этой матрицы. Затем найти алгебраические дополнения для всех её элементов и составить из них новую матрицу. Далее нужно транспортировать эту матрицу. И каждый элемент новой матрицы поделить на определитель исходной матрицы.

Рассмотрим несколько примеров.

Найти A -1 для матрицы

Р е ш е н и е. Найдём A -1 методом присоединённой матрицы. Имеем det A = 2. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы A. В данном случае алгебраическими дополнениями элементов матрицы будут соответствующие элементы самой матрицы, взятые со знаком в соответствии с формулой

Имеем A11 = 3, A12 = -4, A21 = -1, A22 = 2. Образуем присоединённую матрицу

Транспортируем матрицу A*:

Находим обратную матрицу по формуле:

Методом присоединённой матрицы найти A -1 , если

Р е ш е н и е. Прежде всего вычисляем определитесь данной матрицы, чтобы убедиться в существовании обратной матрицы. Имеем

Здесь мы прибавили к элементам второй строки элементы третьей строки, умноженные предварительно на (-1), а затем раскрыли определитель по второй строке. Так как определитесь данной матрицы отличен от нуля, то обратная к ней матрица существует. Для построения присоединённой матрицы находим алгебраические дополнения элементов данной матрицы. Имеем

В соответствии с формулой

транспортируем матрицу A*:

Тогда по формуле

Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований

Кроме метода нахождения обратной матрицы, вытекающего из формулы (метод присоединенной матрицы), существует метод нахождения обратной матрицы, называемый методом элементарных преобразований.

Элементарные преобразования матрицы

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) перестановка строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Для нахождения матрицы A -1 построим прямоугольную матрицу В = (А|Е) порядков (n; 2n), приписывая к матрице А справа единичную матрицу Е через разделительную черту:

Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, приводим матрицу В к виду (Е|А-1), что всегда возможно, если матрица А невырождена.

Методом элементарных преобразований найти A -1 , если

Р е ш е н и е. Образуем матрицу B:

Обозначим строки матрицы B через α1, α2, α3. Произведём над строками матрицы B следующие преобразования:

В результате последнего получаем

Нахождение обратных матриц в wxMaxima и Maxima

Для нахождения обратных матриц в wxMaxima и Maxima используется функция invert:

Эта функция равнозначна возведению матрицы в степень -1 (M^^-1).

Ещё одна функция в wxMaxima и Maxima для нахождения обратных матриц — invert_by_adjoint. Она находит обратную матрицу методом присоединения.

Также можно упомянуть функцию invert_by_lu, которая находит обратную матрицу используя LU-факторизацию.

Нахождение обратной матрицы

В данной публикации мы рассмотрим, что такое обратная матрица, а также на практическом примере разберем, как ее можно найти с помощью специальной формулы и алгоритма последовательных действий.

  • Определение обратной матрицы
  • Алгоритм нахождения обратной матрицы

Определение обратной матрицы

Для начала вспомним, что из себя представляют обратные значения в математике. Допустим, у нас есть число 7. Тогда обратное ему будет равняться 7 -1 или 1 /7. Если умножить данные числа, в результате получится один, т.е. 7 · 7 -1 = 1.

Почти то же самое и с матрицами. Обратной называется такая матрица, умножив которую на исходную, мы получим единичную. Обозначается она как A -1 .

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Для нахождения обратной матрицы нужно уметь вычислять определитель матрицы, а также иметь навыки выполнения определенных действий с ними.

Сразу отметить, что найти обратную можно только для квадратной матрицы, а делается это по формуле ниже:

| A | – определитель матрицы;
A T M – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Примечание: если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.

Пример
Давайте найдем для матрицы A ниже обратную ей.

Решение
1. Для начала найдем определитель заданной матрицы.

2. Теперь составим матрицу миноров, которая имеет те же самые размеры, что и исходная:

Нам нужно выяснить, какие числа должны стоять на месте звездочек. Начнем с верхнего левого элемента матрицы. Минор к нему находится путем зачеркивания строки и столбца, в котором он находится, т.е. в обоих случаях под номером один.

Читайте также  Возрастная физиология и психофизиология

Число, которое останется после зачеркивания, и является требуемым минором, т.е. .

Аналогичным образом находим миноры для оставшихся элементов матрицы и получаем такой результат.

3. Определяем матрицу алгебраических дополнений. Как их посчитать для каждого элемента мы рассмотрели в отдельной публикации.

Например, для элемента a11 алгебраическое дополнение считается так:

4. Выполняем транспонирование полученной матрицы алгебраических дополнений (т. е. поменяем столбцы и строки местами).

5. Остается только воспользоваться формулой выше, чтобы найти обратную матрицу.

Ответ можем оставить в таком виде, не деля элементы матрицы на число 11, так как в этом случае получится некрасивые дробные числа.

Проверка результата

Чтобы убедиться в том, что мы получили обратную исходной матрицу, мы можем найти их произведение, которое должно равняться единичной матрице.

В результате мы получили единичную матрицу, значит все сделали верно.

Вычисление обратной матрицы

Напомним, что обратной для квадратной матрицы порядка называется такая матрица, обычно ее обозначают , которая удовлетворяет условиям:

и .

Существует по крайней мере два «хороших» 1) алгоритма нахождения обратной матрицы.

Метод алгебраических дополнений

Задача 1. Найти обратную матрицу для

.

Решение. Матрица квадратная — по крайней мере в этом подвоха нет. Запомните, что для неквадратной матрицы обратную вычислить нельзя.

Шаг 1. Вычислить определитель. Вычисляем по формуле из примера 1. 2)

.

Определитель не равен нулю, поэтому обратная матрица существует . Переходим на следующий шаг.

Шаг 2. Вычислить алгебраические дополнения для каждого элемента.

Алгебраическое дополнение для левого верхнего элемента ( для 1 ). Он стоит в первой строке и первом столбце. Мысленно вычеркнем их. Останется 5. Поэтому алгебраическое дополнение

.

Алгебраическое дополнение для 2 ( 1-я строка, 2-й столбец ):

.

Алгебраическое дополнение для 2 ( 2-я строка, 1-й столбец ):

.

Алгебраическое дополнение для 5 ( 2-я строка, 2-й столбец ):

.

Шаг 3. Составить матрицу из алгебраических дополнений.

.

Шаг 4. Транспонировать матрицу из шага 3.

.

Совершенно случайно у нас получилось то же самое. Так бывает. Иногда.

Шаг 5. ( Последний! ) Умножить матрицу на число, обратное определителю. Определитель у нас был равен 1.

.

Это и есть обратная матрица.

Сделаем проверку. Если не помните, как умножать матрицы, загляните сначала сюда.

.

Получили единичную матрицу, значит, обратную матрицу нашли правильно.

Вообще нужно делать проверку и для

.

Но мы этого делать не будем, потому что знаем из теории, что если выполнено, то и также будет выполнено. ( Проверьте! )

Метод элементарных преобразований

Задача 3. Найти обратную матрицу для

.

Решение. Это матрица из задачи 1. Найдем обратную к ней другим способом.

1. Припишем справа от матрицы единичную матрицу. Получим

2. Теперь методом элементарных преобразований только над строками матрицы приведем ее к виду

Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2:

Вычтем из первой строки вторую, умноженную на 2:

Матрица справа будет обратной:

.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: