Виды тригонометрических уравнений - OXFORDST.RU

Виды тригонометрических уравнений

Тригонометрические уравнения

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

$1$ радиан $=<180>/<π>≈57$ градусов

Значения тригонометрических функций некоторых углов

$α$ $0$ $<π>/<6>$ $<π>/<4>$ $<π>/<3>$ $<π>/<2>$ $π$
$sinα$ $0$ $<1>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<√3>/<2>$ $1$ $0$
$cosα$ $1$ $<√3>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<1>/<2>$ $0$ $-1$
$tgα$ $0$ $<√3>/<3>$ $1$ $√3$ $-$ $0$
$ctgα$ $-$ $√3$ $1$ $<√3>/<3>$ $0$ $-$
  • Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

  • Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить что:

  1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($π/2$ и $<3π>/<2>$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
  2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos (90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому перед $sinα$ нужен знак $-$.

$сos (90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования

Вычислить $cos 840°$

У косинуса период повторения $2π$ или $360°$, мы можем из угла вычитать количество градусов кратное периоду.

$cos 840°=cos(720°+120°)=cos 120°$

По формуле приведения представим $120°$ как $90°+30°$

$cos(90°+30°) = -sin30= — 0.5$

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс, нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

3. $sin^ <2>α+cos^ <2>α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Вычислить $sin t$, если $cos t = <5>/ <13>; t ∈(<3π>/<2>;2π)$

Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(<3π>/<2>;2π)$ — это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус.

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения.

Арккосинус

Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$, где $0≤а≤1$

Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = 0, t = <π>/<2>+πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Найдите наименьший положительный корень уравнения сos $<2πx>/<3>=-<√3>/<2>$

Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на $<2π>/<3>$

Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо к целые значения

Нам подходит $1.25$ – это и есть результат

Арксинус

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-<π>/<2>;<π>/<2>]$, синус которого равен $а$.

$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$

Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:

1. $t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

Арктангенс

$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-<π>/<2>;<π>/<2>]$, тангенс которого равен $а.$

$arctg(-a)= — arctg a$

Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$

Виды тригонометрических уравнений

“Виды тригонометрических уравнений”

Виды тригонометрических уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения:

Пример 1. 2sin(3x — p/4) -1 = 0.

Решение. Решим уравнение относительно sin(3x — p/4).

sin(3x — p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим

3х — p/4 = (-1) n arcsin 1/2 + np, nÎZ.

Зх — p/4 = (-1) n p/6 + np, nÎZ; 3x = (-1) n p/6 + p/4 + np, nÎZ;

x = (-1) n p/18 + p/12 + np/3, nÎZ

Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nÎZ.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = — p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 =

= p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nÎz.

Ответ: х 1 = 5p/6 + 2pn/3,nÎZ, x 2 = 13p/36 + 2pn/3, nÎZ,

или в градусах: х, = 25° + 120 · n, nÎZ; x, = 65° + 120°· n, nÎZ.

Пример 2. sinx + Öз cosx = 1.

Решение. Подставим вместо Öз значение ctg p/6, тогда уравнение примет вид

sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;

sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x — p/6) = 1/2.

По формуле для уравнения cosx = а находим

х — p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nÎZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ;

x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;

x2 = — p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ;

Ответ: x1 = p/2 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ.

2. Двучленные уравнения:

Пример 1. sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x — sinx == 0; 2sinx · cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

sinx = 0 или cos2x = 0.

x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.

Ответ: x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.

3. Разложение на множители:

Пример 1. sinx + tgx = sin 2 x / cosx

Решение. cosx ¹ 0; x ¹p/2 + pn, nÎZ.

sinx + sinx/cosx = sin 2 x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx · cosx + sinx — sin 2 x = 0; sinx(cosx + 1 — sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx — sinx +1=0;

x1 = pn, nÎZ; cosx — cos(p/2 — x) = -1; 2sin p/4 · sin(p/4 — x) = -1;

Ö2 · sin(p/4 — x) = -1; sin(p/4 -x) = -1/Ö2; p/4 — x = (-1) n+1 arcsin 1/Ö2 + pn, nÎZ;

x2 = p/4 — (-1) n+1 ·p/4 — pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-1) n ·p/4 + pn, nÎZ.

Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то x = pn.

Ответ: x1 = pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-I) n ·p/4 + pn, nÎZ.

4. Способ подстановки

Пример 1. 2 sin 2 x = 3cosx.

Решение. 2sin 2 x — 3cosx = 0; 2 (l — cos 2 x) — 3cosx = 0; 2cos 2 x + 3cosx — 2 = 0.

Пусть z = cosx, |z| £ 1. 2z 2 + 32z — 2=0.

Д = 9+16 = 25; ÖД = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 —

-не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = 1/2; х = ± p/3 + 2pn, nÎZ. Ответ: х = ± p/3 + 2pn, nÎZ.

5. Однородные уравнения

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или

a sin 3 x + b sin 2 x cosx + c sinx cos 2 x + d sin 3 x = 0 и т.д.

В этих уравнениях sinx ¹ 0, cosx ¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin 2 x или на cos 2 x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx.

Пример 1. Ö3sin 2 2x — 2sin4x + Ö3cos 2 2x = 0.

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение Ö3sin 2 2x — 4sin2xcos2x + Ö3cos 2 2x = 0.

Разделим на cos 2 2x. Уравнение примет вид Ö3 tg 2 2x – 4tg2x + Ö3 = 0.

Пусть z = tg2x, тогда Ö3z 2 — 4z + Ö3 = 0; Д = 4; ÖД = 2.

z1 = (4 +2)/2Ö3 = 6/2Ö3 = Ö3; z2 = (4 – 2)/2Ö3 = 1/Ö3

tg2x = Ö3 или tg2x = 1/Ö3

2x = p/3 + pn, nÎZ; 2x = p/6 + pn, nÎZ;

x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.

Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.

6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.

sinj = 4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j = p/2 + 2pn, nÎZ.

Ответ: x = p/2 — arcsin 4/5 + 2pn, nÎZ.

7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых значений.

Пример 1. 1/(Ö3-tgx) – 1/(Ö3 +tgx) = sin2x

Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения

tgx ¹ ± Ö3, х ¹ ± p/8 + pn, nÎZ и х ¹ ± p/2 + pn, nÎZ.

Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла.

(Ö3 + tgx — Ö3 + tgx)/3 — tg 2 x = 2tgx/ (1 + tg 2 x); 2tgx / (3 — tg 2 x) = 2tgx/(1 + tg 2 x)

Второе уравнение имеет вид

2tg 2 x — 2 = 0; tg 2 x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p/4 + pn, nÎZ.

Ответ: x1 = pn, nÎZ; х2 = ± p/4 + pn, nÎZ.

8. Иррациональные тригонометрические уравнения

Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

Пример 1. Ö( cos 2 x + ½) + Ö( sin 2 x + ½) = 2.

Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.

cos 2 x + ½ + 2 Ö(( cos 2 x + ½) ( sin 2 x + ½)) + sin 2 x + ½ = 4

Ö(( cos 2 x + ½) ( sin 2 x + ½)) = 1; ( cos 2 x + ½) ( sin 2 x + ½) = 1

( ½ + ½ cos2x + ½)( ½ — ½ cos2x + ½) = 1; (1 + ½ cos2x) (1 — ½ cos2x) = 1;

1 – ¼ cos 2 2x = 1; cos2x=0; x = p/4 + pn/2, nÎz

Ответ: x = p/4 + pn/2, nÎz.

9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция

Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений.

Пример 1. tg(x 2 + 5x)ctg 6=1.

Решение. Запишем уравнение в виде tg(x 2 +5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х 2 + 5х = 6 + pn, nÎZ; х 2 + 5х — (6+pn) = 0, nÎz;

Д = 25 + 4(6 + pn) = 49 + 4pn, nÎZ; х1,2 = (-5 ±Ö(49 + 4pn))/2, nÎz

Решение имеет смысл, если 49 + 4pn > 0, т.е. n ³ -49/4p; n ³ -3.

“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.

“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,

С . И . Шварцбурд, 1993 г.

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми

Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!

Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + pi n, n in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=pm arccos a + 2pi n, n in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + pi n, n in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + pi n, n in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

  • с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
  • решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+frac pi 6)-3sin(frac pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+frac pi 6)-3cos(x+frac pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+frac pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+frac pi 6)=1`, `x+frac pi 6=2pi n`, `x_1=-frac pi 6+2pi n`.

2. `cos(x+frac pi 6)=1/2`, `x+frac pi 6=pm arccos 1/2+2pi n`, `x_2=pm frac pi 3-frac pi 6+2pi n`.

Ответ: `x_1=-frac pi 6+2pi n`, `x_2=pm frac pi 3-frac pi 6+2pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

  1. `sin x/2 =0`, `x/2 =pi n`, `x_1=2pi n`.
  2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ pi n`, `x/2=pi/4+ pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Ответ: `x_1=2pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x ne 0`, получим:

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

  1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+pi n`, `n in Z`
  2. `tg x=1`, `x=arctg 1+pi n`, `x_2=pi/4+pi n`, ` n in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+pi n`, `n in Z`, `x_2=pi/4+pi n`, `n in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

  1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2pi n`, `n in Z`,
  2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2pi n, n in Z`, `x_2=arctg 3/4+2pi n`, `n in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt `:

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `frac a>=cos varphi`, ` frac b> =sin varphi`, `frac c>=C`, тогда:

`cos varphi sin x + sin varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt <3^2+4^2>`, получим:

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos varphi` , `4/5=sin varphi`. Так как `sin varphi>0`, `cos varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos varphi sin x+sin varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`x+varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ pi n`, `n in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ pi n`, `n in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `frac <1+cos x>=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x ne 0`, `cos x ne -1`, ` x ne pi+2pi n, n in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

  1. `sin x=0`, `x=pi n`, `n in Z`
  2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=pi /2+2pi n, n in Z`.

Учитывая, что ` x ne pi+2pi n, n in Z`, решениями будут `x=2pi n, n in Z` и `x=pi /2+2pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x=2pi n`, `n in Z`, `x=pi /2+2pi n`, `n in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания

Курс математики корпорации «Российский учебник», авторства Георгия Муравина и Ольги Муравиной, предусматривает постепенный переход к решению тригонометрических уравнений и неравенств в 10 классе, а также продолжение их изучения в 11 классе. Представляем вашему вниманию этапы перехода к теме с выдержками из учебника «Алгебра и начало математического анализа» (углубленный уровень).

1. Синус и косинус любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример задания. Найти приближенно углы, косинусы которых равны 0,8.

Решение. Косинус — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку C(0,8; 0). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: Pα° и Pβ°, симметричных относительно оси абсцисс.

С помощью транспортира находим, что угол α° приближенно равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой Pα°:

α° ≈ 37° + 360°n, где n — любое целое число.

В силу симметрии относительно оси абсцисс точка Pβ° — конечная точка поворота на угол –37°. Значит, для нее общий вид углов поворота:

β° ≈ –37° + 360°n, где n — любое целое число.

Ответ: 37° + 360°n, –37° + 360°n, где n— любое целое число.

Пример задания. Найти углы, синусы которых равны 0,5.

Решение. Синус — это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку D(0; 0,5).

Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: Pφ и Pπ–φ, симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике OKPφ катет KPφ равен половине гипотенузы OPφ, значит,

Общий вид углов поворота с конечной точкой Pφ:

где n — любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой Pπ–φ:

где n — любое целое число.

Ответ: где n — любое целое число.

2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример 2. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Пример задания. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Решение. Отметим на оси тангенсов точку C с ординатой, равной –1,2, и проведем прямую OC. Прямая OC пересекает единичную окружность в точках Pα° и Pβ° — концах одного и того же диаметра. Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т.е. на 180°n (n — целое число). С помощью транспортира находим, что угол Pα° OP равен –50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен –1,2, следующий: –50° + 180°n (n — целое число)

По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например,

Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов.

Методы решения тригонометрических уравнений

У большинства школьников решение тригонометрических уравнений вызывает страх и панику. Как же разобраться в этих непонятных синусах, косинусах, arcsinах, когда возле них стоят неизвестные? Поверьте, не все так страшно как кажется на первый взгляд. Выбрав правильный метод решения, упростив уравнение, можно справиться с самыми сложными тригонометрическими заданиями.

Виды тригонометрических уравнений

Тригонометрическое уравнение — это равенство, при котором неизвестная величина входит под знак тригонометрической функции.

  • 3sinx — 4cos x — tqx +1=0;
  • sin4x+2sinx+1=0,
  • sin2x + cos x=1,…

А вот такое равенство sin5x+4x=2 нельзя считать чисто тригонометрическим. Оно состоит из линейной (4х) и тригонометрической составляющей, поэтому относится к смешанному виду.

В тригонометрии различают простейшие и сложные тригонометрические уравнения:

  • К первому виду относятся такие равенства, как sinf(x)=a, где под значением аподразумевают постоянное число (0,3,1,-1 и т.д.), а f(x) – функция, которая зависит от неизвестной х(f(x)=4, f(x)=6-х).
  • Сложными примерами тригонометрических уравнений могут быть такие задания: (3sin x+ 4cos x)√2= tq x+ ctq x; sin x+ sin2 x+ cos2х=0 и т.п.

Решить такое уравнение – значит определить все значения неизвестной величины, которые оправдывают равенство.

Простейшие тригонометрические уравнения формулы

Простейшее тригонометрическое уравнение имеет одну неизвестную под знаком функции, которая равняется какому-либо числовому значению.

Найдем решение уравнений при значении а, в частности: а=0; а=1; а= — 1.

  1. Если sin x=0, тогда х=nπ. Синус равняется нулю для дуг, которые заканчиваются в концах горизонтального диаметра. Такое множество дуг выражается формулой х= nπ; n Є Z. (Здесь и далее n Є Z).
    Если cos x=0, тогда х=π/2+ nπ. Косинус равен нулю для дуг, которые заканчиваются на концах вертикального диаметра. Множество таких дуг выражают формулой х= π/2+ nπ.
    Если tq x=0, тогда х= nπ.
    Если ctq x=0, тогда π/2+ nπ.
  2. Если sin x=1, тогда х= π/2+2 nπ. Синус равен единице для дуг, которые оканчиваются в верхнем конце вертикального диаметра. Множество таких дуг выражается формулой х= π/2+2 nπ.
    Если cos x=1, тогда х=2 nπ. Косинус равен единице, когда заканчивается в правом конце горизонтального диаметра. А множество таких дуг выражается формулой х=2 nπ.
  3. Если sin x=-1, тогда х=- π/2+2 nπ, т.к. синус равен -1 для дуг, которые заканчиваются внизу вертикального диаметра. Множество таких дуг выражается с помощью формулы х=- π/2+2nπ.
    Если cos x=-1, тогда х=(2n+1)π. Косинус равен -1 для дуг, которые заканчиваются в левом конце горизонтального диаметра. Множество таких дуг выражается формулой х=(2n+1)π.

Для значений а, которые равны 0,1,-1, формулы решений простейших уравнений такие:

  • если sinx = a(|a|≤1), тогда x = (-1)n arc sina + πn, n Є Z,
  • если cosx= a(|a|≤1), x=± arc cosa +2nk, n Є Z,
  • если tq x = a, тогда x = arc tq a + πn, n Є Z,
  • если ctq x = a, тогда x = arc ctq a + πn, n Є Z.

Все значения тригонометрической функции имеют неограниченное количество углов, поэтому уравнение имеет множество решений.

Таблица тригонометрические уравнения

Нахождение переменной под функцией значительно упрощают специальные таблицы с расшифровкой основных формул.

Решение тригонометрических уравнений формулы

Чтобы найти переменную под тригонометрической функцией, необходимо определить все величины, которые ее оправдывают. Такие уравнения не всегда имеют решение. Например, уравнение sinx=9, останется без ответа, т.к. абсолютная величина синуса не должна превышать единицу.
Обычно решений тригонометрических уравнений бесчисленное множество. Например, общим решением тригонометрического равенства sinx=0, будет х= nπ, где n Є Z, где Z — множество чисел.
Чтобы найти переменную в сложном тригонометрическом уравнении, его необходимо свести к простейшему. Для этого производят алгебраические преобразования, используя в решении тригонометрические формулы. Приведем общие решения некоторых уравнений.

Способы решений тригонометрических уравнений

Используя основные формулы, можно справиться с простейшими тригонометрическими уравнениями, а сложные равенства свести к простейшим. Для этого используют способы предварительного разложения левой части на множители, алгебраический метод (введения переменной), способ универсальной подстановки и др.

Пример решения, где использован метод разложения на множители

Пример с введением переменной

Пример сведения к однородному уравнению

Тригонометрические уравнения ЕГЭ задания, с подробным решением 5 вариантов

В ЕГЭ тригонометрические уравнения встречаются редко, примерно в 7% случаев, но знать решение таких заданий просто необходимо. Предлагаем рассмотреть несколько подробных методов нахождения переменной.

Пример решения уравнения через главное тождество

Пример с использованием разложения

Пример решения этого же уравнения через деление на косинус

Пример решения уравнения через деление на косинус

Пример решения уравнения относительно аргумента

Зная основные формулы и методы решения, можно справиться с самыми сложными тригонометрическими уравнениями. Для самопроверки используйте онлайн калькулятор.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: