Матрицы и определители - OXFORDST.RU

Матрицы и определители

Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы

Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .

|А|, ∆ , det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:

d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × ( — 2 ) = 1 + 6 = 7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

  • правило треугольника;
  • правило Саррюса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1

d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × ( — 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × ( — 1 ) — 5 × 1 × 1 = ( — 2 ) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

  • дописать слева от определителя два первых столбца;
  • перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
  • перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 — 2 5 — 1 1 3 0 2 — 2 5 = 1 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 2 ) + 4 × 0 × 5 — 4 × 2 × ( — 2 ) — 1 × 1 × 5 — 3 × 0 × ( — 1 ) = — 2 — 6 + 0 + 16 — 5 — 0 = 3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

  • разложением по элементам строки;
  • разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Разложение матрицы по элементам строки:

d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n

Разложение матрицы по элементам столбца:

d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0

  • раскладываем по 2-ой строке:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( — 1 ) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0

  • раскладываем по 4-му столбцу:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( — 1 ) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( — 1 ) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1

Свойства определителя

  • если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
  • если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
  • определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

Пример 6

А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5

d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10

Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.

Некоторые свойства определителей.

Здесь будут изложены те свойства, которые обычно используются для вычисления определителей в стандартном курсе высшей математики. Это вспомогательная тема, к которой будем обращаться из остальных разделов по мере необходимости.

Итак, пусть задана некая квадратная матрица $A_=left( begin a_ <11>& a_ <12>& ldots & a_ <1n>\ a_ <21>& a_ <22>& ldots & a_ <2n>\ ldots & ldots & ldots & ldots \ a_ & a_ & ldots & a_ \ end right)$. Каждая квадратная матрица обладает характеристикой, которая называется определителем (или детерминантом). Я не стану вдаваться здесь в суть этого понятия. Если оно требует пояснений, то прошу отписать об этом на форум, и я коснусь данного вопроса детальнее.

Обозначается определитель матрицы $A$ как $Delta A$, $|A|$ или $det A$. Порядок определителя равен количеству строк (столбцов) в нём.

    Значение определителя не изменится, если его строки заменить соответствующими столбцами, т.е. $Delta A=Delta A^T$.

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Рассмотрим определитель $left| begin 2 & 5 \ 9 & 4 end right|$. Найдём его значение, используя формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$left| begin 2 & 5 \ 9 & 4 end right|=2cdot 4-5cdot 9=-37.$$

Заменим в нём строки столбцами по принципу: «была первая строка – стал первый столбец», «была вторая строка – стал второй столбец»:

Вычислим полученный определитель: $left| begin 2 & 9 \ 5 & 4 end right|=2cdot 4-9cdot 5=-37$. Как видите, значение определителя от проведённой замены не изменилось.

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Рассмотрим определитель $left| begin 2 & 5 \ 9 & 4 end right|$. Найдём его значение, используя формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$left| begin 2 & 5 \ 9 & 4 end right|=2cdot 4-5cdot 9=-37.$$

Теперь поменяем местами первую и вторую строки. Получим определитель $left| begin 9 & 4 \ 2 & 5 end right|$. Вычислим полученный определитель: $left| begin 9 & 4 \ 2 & 5 end right|=9cdot 5-4cdot 2=37$. Итак, значение исходного определителя равнялось (-37), а у определителя с изменённым порядком строк значение равно $-(-37)=37$. Знак определителя изменился на противоположный.

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Так как в определителе $left| begin -7 & 10 & 0\ -9 & 21 & 0\ 2 & -3 & 0 end right|$ все элементы третьего столбца равны нулю, то определитель равен нулю, т.е. $left| begin -7 & 10 & 0\ -9 & 21 & 0\ 2 & -3 & 0 end right|=0$.

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Так как в определителе $left| begin -7 & 10 & 0\ -7 & 10 & 0\ 2 & -3 & 18 end right|$ все элементы первой строки равны соответствующим элементам второй строки, то определитель равен нулю, т.е. $left| begin -7 & 10 & 0\ -7 & 10 & 0\ 2 & -3 & 18 end right|=0$.

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Так как в определителе $left| begin -7 & 10 & 28\ 5 & -3 & 0\ -15 & 9 & 0 end right|$ вторая и третья строки пропорциональны, т.е. $r_3=-3cdot$, то определитель равен нулю, т.е. $left| begin -7 & 10 & 28\ 5 & -3 & 0\ -15 & 9 & 0 end right|=0$.

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Рассмотрим определитель $left| begin -7 & 10 \ -9 & 21 end right|$. Заметьте, что все элементы второй строки делятся на 3:

$$left| begin -7 & 10 \ -9 & 21 end right|=left| begin -7 & 10 \ 3cdot(-3) & 3cdot 7 end right|$$

Число 3 и есть общий множитель всех элементов второй строки. Вынесем тройку за знак определителя:

$$ left| begin -7 & 10 \ -9 & 21 end right|=left| begin -7 & 10 \ 3cdot(-3) & 3cdot 7 end right|= 3cdot left| begin -7 & 10 \ -3 & 7 end right| $$

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Рассмотрим определитель $left| begin -7 & 10 & 0\ -9 & 21 & 4 \ 2 & -3 & 1 end right|$. Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 5. Записывают это действие так: $r_2+5cdot$. Вторая строка будет изменена, остальные строки останутся без изменений.

$$ left| begin -7 & 10 & 0\ -9 & 21 & 4 \ 2 & -3 & 1 end right| begin phantom<0>\ r_2+5cdot\ phantom <0>end= left| begin -7 & 10 & 0\ -9+5cdot 2 & 21+5cdot (-3) & 4+5cdot 1 \ 2 & -3 & 1 end right|= left| begin -7 & 10 & 0\ 1 & 6 & 9 \ 2 & -3 & 1 end right|. $$

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Сразу поясню, что означает словосочетание «линейная комбинация». Пусть у нас есть s строк (или столбцов): $A_1$, $A_2$. $A_s$. Выражение

$$ k_1cdot A_1+k_2cdot A_2+ldots+k_scdot A_s, $$

где $k_iin R$ называется линейной комбинацией строк (столбцов) $A_1$, $A_2$. $A_s$.

Для примера рассмотрим такой определитель:

$$ left| begin -1 & 2 & 3 & 0\ -2 & -4 & -5 & 1\ 5 & 0 & 7 & 10 \ -13 & -8 & -16 & -7 end right| $$

Читайте также  Классификация сравнительная характеристика корнеплодов моркови

В этом определителе четвертую строку можно выразить как линейную комбинацию первых трёх строк:

Следовательно, рассматриваемый определитель равен нулю.

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Рассмотрим определитель $left| begin -7 & 10 & 0\ -9 & 21 & 4 \ 2 & -3 & 1 end right|$. Запишем элементы второго столбца так: $left| begin -7 & 3+7 & 0\ -9 & 21+0 & 4 \ 2 & 5+(-8) & 1 end right|$. Тогда такой определитель равен сумме двух определителей:

$$ left| begin -7 & 10 & 0\ -9 & 21 & 4 \ 2 & -3 & 1 end right|= left| begin -7 & 3+7 & 0\ -9 & 21+0 & 4 \ 2 & 5+(-8) & 1 end right|= left| begin -7 & 3 & 0\ -9 & 21 & 4 \ 2 & 5 & 1 end right|+ left| begin -7 & 7 & 0\ -9 & 0 & 4 \ 2 & -8 & 1 end right| $$

Формулы для вычисления определителей

Для определителей второго и третьего порядков верны такие формулы:

$$ begin Delta A=left| begin a_ <11>& a_ <12>\ a_ <21>& a_ <22>end right|=a_<11>cdot a_<22>-a_<12>cdot a_ <21>end $$ $$ begin begin & Delta A=left| begin a_ <11>& a_ <12>& a_ <13>\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>\ a_ <31>& a_ <32>& a_ <33>end right|= a_<11>cdot a_<22>cdot a_<33>+a_<12>cdot a_<23>cdot a_<31>+a_<21>cdot a_<32>cdot a_<13>-\ & -a_<13>cdot a_<22>cdot a_<31>-a_<12>cdot a_<21>cdot a_<33>-a_<23>cdot a_<32>cdot a_ <11>end end $$

Определитель матрицы $A_$ можно разложить по i-й строке, используя следующую формулу:

Аналог данной формулы существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:

Правила, выраженные формулами (3) и (4), подробно проиллюстрированы примерами и пояснены в теме Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу).

Укажем еще одну формулу для вычисления определителей верхних треугольных и нижних треугольных матриц (пояснение этих терминов см. в теме «Матрицы. Виды матриц. Основные термины»). Определитель такой матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Примеры:

begin &left| begin 2 & -2 & 9 & 1 \ 0 & 9 & 8 & 0 \ 0 & 0 & 4 & -7 \ 0 & 0 & 0 & -6 end right|= 2cdot 9cdot 4cdot (-6)=-432.\ &left| begin -3 & 0 & 0 & 0 \ -5 & 0 & 0 & 0 \ 8 & 2 & 1 & 0 \ 5 & 4 & 0 & 10 end right|= -3cdot 0cdot 1 cdot 10=0. end

Определитель матрицы

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А|, ||A|| или Δ(A).

Содержание

Определение через разложение по первой строке

Для матрицы порядка 1 детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы детерминант определяется как

Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:

, где — дополнительный минор к элементу a1j . Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:

= a11a22a33a11a23a32a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32a13a22a31

Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):

Пусть .

Докажем, что по индукции. Видно, что для матрицы это верно:

Предполжим, что для матрицы порядка n−1 — верно.

Пусть .

Докажем, что по индукции. Видно, что для матрицы это верно:

Предположим, что для матрицы порядка n−1 — верно.

Соберём коэффициенты при :

Соберём коэффициенты при :

Обобщением вышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу (Теорема Лапласа), дающее возможность вычислять определитель по любым k строкам (столбцам):

Определение через перестановки

Для матрицы справедлива форумула:

,

где α12. αn — перестановка порядка n , N12. αn) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n . Таким образом, в определитель войдёт n! слагаемых, которые также называют «членами определителя». Важно заметить, что во многих курсах линейной алгебры это определение даётся как основное.

Свойства определителей

  • Детерминант — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.
  • При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
  • Если две строки матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
  • Если хотя бы одна строка нулевая, то определитель равен нулю.
  • Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
  • Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
  • Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

Специальные виды определителей

  • Определитель Вронского (Вронскиан)
  • Определитель Вандермонда
  • Определитель Грама
  • Определитель Якоби (Якобиан)

См. также

  • LU-разложение
  • Пфаффиан

Литература

  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
  • Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000.

Ссылки

  • Расчет определителя матрицы онлайн

Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Определитель Типов Майерс-Бриггс
  • Определённо-личные предложения

Смотреть что такое «Определитель матрицы» в других словарях:

определитель матрицы — детерминант Число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования по определенному правилу. Обычное обозначение (для матрицы A) detA. Например, определитель (второго порядка) матрицы обозначается и вычисляется следующим… … Справочник технического переводчика

Определитель матрицы, детерминант — [determinant] число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования по определенному правилу. Обычное обозначение (для матрицы A) detA. Например, определитель (второго порядка) матрицы обозначается и вычисляется следующим … Экономико-математический словарь

Определитель — У этого термина существуют и другие значения, см. Определитель (значения). Определитель (или детерминант) одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у … Википедия

Определитель Вандермонда — Определителем Вандермонда называется определитель названный в честь французского математика Александра Теофила Вандермонда. [1] Доказательство Индукция по размеру матрицы … Википедия

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ — или детерминант, в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число ( значение определителя). Очень часто под понятием определитель имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи.… … Энциклопедия Кольера

Определитель Грама — Определителем Грама (англ.) (грамианом) системы векторов в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы … Википедия

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ — (детерминант) квадратнойматрицы А = ||aij|| порядка n, detA многочлен … Физическая энциклопедия

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ — детерминант, квадратной матрицы А=||aij|| порядка пнад ассоциативно коммутативным кольцом K с единицей 1 элемент кольца K, равный сумме всех членов вида где i1, . . ., in перестановка чисел 1, . . ., п,a t число инверсий перестановки i1. in.… … Математическая энциклопедия

Определитель — детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана Матрица порядка n, т. е. квадратная таблица, составленная из п2 элементов (чисел, функций и т. п.): (каждый… … Большая советская энциклопедия

Определитель Гессе — Гессиан функции симметрическая квадратичная форма описывающая поведение функции во втором порядке. Для функции f дважды дифференцируемой в точке или где (или … Википедия

Определитель матрицы свойства, методы и способы вычисления, разложение определителя по элементам строки или столбца, определитель матрицы методом Гаусса

В линейной алгебре важным понятием является определитель матрицы. Он используется для записи систем уравнений. Практически это таблица, заполненная числами. Так как математика строится на грамотной и последовательной системе определений, то для успешного решения задач нужно не только знать определители, но и разбираться в их характеристиках.

Понятие и термины

Кроме математики, матрицы нашли широкое применение в физике и других прикладных науках. Используются они и в программировании, где их называют массивами. Большинство экономических моделей также описывается достаточно простой и компактной матричной формой.

Читайте также  Гипергликемическая (диабетическая) кома

Матрица состоит из столбцов (n) и строк (m). Характеризуется она порядком и размерностью. Обычно говорят, что некий массив В имеет размер m на n. Записывают это как В = . Существует и другой вариант записи: В = (аij), где i и j – индексы, при этом 1≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n. В учебниках же просто указывается разрядность в виде 2х2, 3х3 и так далее. Матрица называется квадратной, если количество её строк равно величине столбцов.

Строки и столбцы начинают нумеровать сверху и с левой стороны. Если элементы массива равны нулю, то матрицу называют нулевой. Существует понятие главной диагонали. Располагается она сверху вниз слева. Расположенные на ней элементы называют диагональными. Когда они равны одному, а все остальные члены нулю, массив считается единичным.

Главной характеристикой массива является определитель, или детерминант. Им называют число, соответствующее алгебраической сумме всех возможных произведений столбцов на строки. Другими словами, чтобы найти значение детерминанта, нужно сумму элементов матрицы n умножить на её размерность m. При перемножении знак произведения определяется по числу инверсий. Их чётное количество соответствует положительному знаку, а нечётное – отрицательному.

Определитель — это число, которое определяет степень матрицы. Характеризуется он порядком. Так, определителем первого порядка называют значение, определяемое единственным элементом массива. Записывают его в виде выражения: A = , detA = |A| = a.

С матрицами можно выполнять любые арифметические действия и даже возводить в степень. Определитель вычисляется только в квадратной матрице, то есть в той, у которой число строк равно числу столбцов. Расчёт проводится с использованием специальных операций. Нахождение определителя построено на использовании ряда аксиом, дающих возможность вычислить характеристику матрицы любого порядка.

Параметры определителя

Использование свойств определителей даёт возможность сделать процедуру их вычисления проще. Если взять множество натуральных чисел, записанных в порядке возрастания, K = <1, 2, 3, 4, …, n>, то с ними можно выполнить две операции: перестановку и транспозицию.

Под первой понимается упорядочение множеству чисел другой последовательности. Например, <1, 2, 3, 4>— <1, 4, 3, 2>. То есть <1, 2, 3, 4, …, n>— . Если же в последовательности изменяются только две позиции, а остальные остаются на своих местах, то такую операцию называют транспозицией <1, 2, 3, 4>— <1, 3, 2, 4>. Когда при перестановке нарушается порядок расположения, то множество содержит инверсию kj > ki (j Нахождение значения

Для того чтобы понять, как находить детерминант матрицы, следует понять способы решения простых матриц 2х2 и 3х3. Умея находить их параметр, несложно будет определить детерминант и массив более высокого порядка. В математике матрицу принято записывать в круглых скобках, а определитель в прямых. Обозначают детерминант в формулах как det.

Если дана матрица второго порядка, то есть 2х2, то её определитель ищут по формуле: det = ab – dc, где: а и d – элементы первой строки, b и c – члены второй строки. То есть определитель находят как разность произведений диагональных элементов между собой. Например, пусть задана матрица:

Её параметр будет равняться: det = 13 * 11 – 9 * 1 = 143 – 9 = 134.

Пусть дана некая матрица три на три:

Необходимо найти её определитель. Для массива 3х3 детерминант можно найти двумя способами:

  • правилом Саррюса (треугольника);
  • универсальным методом.

Схематично первый способ можно представить следующим образом:

Для нахождения детерминанта по правилу треугольника нужно перемножить элементы массива, соединённые красными линиями, а затем их сложить. То же самое необходимо сделать с элементами, через которые проходит синяя линия. Затем из первого полученного значения вычесть второе. Вычитаемое и уменьшаемое состоит из трёх слагаемых. Определяются они двумя треугольниками и сумой элементов, стоящих на главной диагонали (сплошная линия).

Определитель будет равным: det = (1* (-1) * 5) + (5 * 2 * 1) + (2 * (-1) * (-2)) – (-2 * (-1) * (-1)) – (2 * 5 * 5) – (1 * 2 * (-1)) = — 5 + 10 + 4 – 2 – 20 + 2 = -11.

Второй способ проще. В его основе лежит метод разложения дискриминанта по первой строке или столбцу. То есть определитель можно найти по следующей формуле: det = a * n1 + b * n2 + c * n3, где: n1 — матрица 2х2, образованная с верхней левой части массива; n2 – матрица, полученная из второго и третьего члена первого столбца и третьего; n3 – массив, образованный из второго и третьего элемента первого столбца и третьего; a, b, c – элементы первой строчки.

Детерминант четвёртого порядка

Более сложной матрицей считается квадрат размером 4х4. Для подсчёта определителя нужно использовать универсальный способ нахождения детерминанта массива 3х3. То есть понадобится раскрыть первую строку и найти минор. Первый элемент в строке умножают на матрицу, образованную квадратом, начинающегося со второго члена следующего от него столбца.

Затем вычитают произведение второго элемента на алгебраическое дополнение, полученное путём вычёркивания первой строки и второго столбца. Далее, прибавляют третий элемент в первой строке и умножают на дополнение этого элемента. На последнем этапе вычитают четвёртый элемент верхней строки, умноженный на соответствующую ему дополнительную матрицу.

Теперь находят дискриминанты полученных матриц 3х3. Важно помнить, что знаки, стоящие перед алгебраическим дополнением, меняются. Если первый член имеет плюс, то перед вторым элементом ставится минус, перед третьим снова плюс и так далее.

Таким образом, массивы с высокими порядковыми номерами решаются методом понижения основного выражения. Если всё будет выполнено правильно, в ответе получится дискриминант, равный -13.

Например, для поиска определителя квадрата 6х6, нужно будет предварительно разложить систему по первой строке на массив низшего порядка 5х5, найти определитель матрицы 4х4, 3х3 и 2х2. Делая всё последовательно блочным методом, допустить ошибку практически невозможно. Если необходимо найти детерминант массивов десятого порядка и выше, то целесообразно находить определитель матрицы на онлайн-калькуляторе.

Стоит напомнить, что детерминант можно найти только для квадратного выражения в прямоугольной матрице. Правило нахождения определителя n порядка было предложено Лапласом. Он доказал и сформулировал теорему, гласящую о том, что величина определителей высшего порядка находится как сумма произведений частей какой-либо строки или столбца на принадлежащее им алгебраическое дополнение.

То есть выполняется разложение определителя по n строке или m столбцу.

Метод Гаусса

Способ Гаусса используется для решения системы уравнений. На их базе составляется массив. Первые столбцы образуют из коэффициентов, стоящих после неизвестных, а последний из значений, расположенных после знака равно. Для нахождения определителя этим способом необходимо выполнить два шага:

  • Привести матрицу к верхнетреугольной или нижнетреугольной форме путём элементарных преобразований.
  • Сосчитать произведение всех элементов, расположенных на главной диагонали треугольного массива, заменив при этом полученный знак определителя на противоположный.

    Например, необходимо найти детерминант системы уравнений:

    n1 + 2 * n2 – 3 * n3 = — 4.

    2*n1 + 5 * n2 – 4 * n3 = 0.

    -3*n1 + n2 – 3 * n3 = 5.

    На первом этапе составляют матрицу и решают её. Выделяют первую строку и пытаются обнулить все первые коэффициенты. Для этого каждый элемент нужно умножить на такое число, чтобы последующий элемент обнулился. Затем берут другую строку и обнуляют уже вторые элементы. Так, для заданной системы уравнений первую строку необходимо умножить на -2, а затем сложить со второй строкой. То есть первый элемент в первом столбце будет равен: x11 = -2 * 1 + 2 = 0; второй: x22 = -2 * 2 +5 = 1; третий: x33 = -2*(-3) – 4 = 2; четвёртый: x44 = -2* (-4) + 0 = 8.

    Аналогичные действия проводят по отношению к элементам третьей строки. Для обнуления первую строчку умножают уже не на -2, а на тройку. В результате первый столбец будет состоять из двух нулевых элементов. Затем переходят к обнулению элементов во втором столбце. Делают это последовательным умножением третьей строки на – 7. В итоге получится массив с тремя нулевыми членами.

    Опираясь на полученную матрицу, составляют новую систему уравнений:

    n1 + 2 * n2 – 3 * n3 = -4.

    Затем из последнего равенства находят n3. Полученное значение подставляют во второе уравнение и определяют n2. На последнем этапе, используя найденные величины, вычисляют n1. Для нахождения детерминанта определяют тип матрицы, в этом случае она нижнетреугольная, и вычисляют его значение det = (1 * 1 * (-20)) = -20.

    Найти детерминант небольшого ранга несложно. Но существуют задания, для решения которых нужно не только проявить внимание, но и потратить много времени. Для таких случаев существуют калькуляторы, помогающие выполнить вычисление определителя матрицы онлайн.

    Кроме быстрого определения ответа, они также показывают подробное решение поставленной задачи. Если же доступа к интернету нет, то можно выполнить расчёт и в excel. Делается это с помощью функции «=МОПРЕД».

    Читайте также  Иудаизм в России

    Матрицы и определители

    Обратной к матрице $$A=begin 2 & 2\ 4& 8 end$$ является матрица:

      Матрицу, обратную к матрице $$A= begin a_ <11>& a_<12>\ a_<21>& a_ <22>end$$ , находят по формуле:

    $$A^<-1>=frac<1>cdot begin A_ <11>& A_<21>\ A_<12>& A_ <22>end$$ .
    Алгебраическое дополнение $$A_$$ элемента $$a_$$ квадратной матрицы находят по формуле:

      Найдем определитель матрицы $$A$$ :

    $$left | A right |=2cdot 8-4cdot 2=8$$ .

  • Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$ :
    $$A_<11>=(-1)^<1+1>M_<11>=1cdot 8=8;$$
    $$A_<12>=(-1)^<1+2>M_<12>=-1cdot 4=-4;$$
    $$A_<21>=(-1)^<2+1>M_<21>=-1cdot 2=-2.$$
    $$A_<22>=(-1)^<2+2>M_<22>=1cdot 2=2.$$
  • Запишем: $$A^<-1>=frac<1><8>cdot begin 8 & -2\ -4& 2 end=begin 1 & -0,25\ -0,5& 0,25 end$$ .
  • Если квадратная матрица $$A^<-1>$$ является обратной к квадратной матрице $$A$$ , то $$A^<-1>A=AA^<-1>=E$$ .

    Наименьшее неотрицательное решение уравнения

    $$begin sinx & 1 & cosx\ 0 & 1 & sinx\ 0& 0& -cosx end$$ $$=0$$ равно:

    1. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов:
      $$begin a_ <11>& a_ <12>& a_<13>\ 0 & a_ <22>& a_<23>\ 0& 0& a_ <33>end=a_<11>a_<22>a_<33>$$ .
    2. Если $$sinx=0$$ , то $$x=0+pi n$$ , где $$n$$ – целое число.
    3. Если $$cosx=0$$ , то $$x=frac<2>+pi n$$ , где $$n$$ – целое число.

    Решим уравнение $$sinxcdot cosx=0$$ .

    Получим: $$sinx=0$$ или $$cosx=0$$ , откуда $$x=0+pi n$$ или $$x=frac<2>+pi m$$ , где $$n$$ и $$m$$ – целые числа.

    Число $$0$$ – наименьшее неотрицательное решение уравнения.

    Число $$0$$ – целое неотрицательное и неположительное число.

    Определитель матрицы $$begin 1 & 4 &0 \ 3& 5 &1 \ 0& 4 &2 end$$ равен:

    Определитель матрицы третьего порядка – это число, которое находят по формуле:
    $$begin a_ <11>& a_ <12>& a_<13>\ a_ <21>&a_ <22>& a_<23>\ a_ <31>& a_ <32>& a_ <33>end=$$

    $$begin 1 & 4 &0 \ 3 & 5 &1 \ 0 & 4 &2 end=$$

    $$=1cdot 5cdot 2+4cdot 1cdot 0+3cdot 4cdot 0-0cdot 5cdot 0-4cdot 3cdot 2-1cdot 4cdot 1=-18$$ .

    Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле:
    $$begin a_ <11>& a_ <12>& a_<13>\ a_ <21>&a_ <22>& a_<23>\ a_ <31>& a_ <32>& a_ <33>end$$ $$=$$

    Если матрица имеет вид $$begin 1 & 4 & 2\ 3& 5& 1\ 0&2 & 3 end$$ , то значение выражения $$M_<13>cdot M_<21>+2A_<11>cdot A_<23>$$ равно:

    1. Минор $$M_$$ элемента $$a_$$ квадратной матрицы – это определитель этой матрицы, у которого отсутствует $$i$$ — я строка и $$j$$ -й столбец.
    2. Алгебраическое дополнение $$A_$$ элемента $$a_$$ квадратной матрицы находят по формуле:

      Найдем минор $$M_<13>$$ , вычеркнув из определителя матрицы первую строку и третий столбец:

    $$M_<13>cdot M_<21>+2A_<11>cdot A_<23>$$ $$=6cdot 8+2cdot 13cdot (-2)= -4$$ .

    Обратной к матрице $$A=begin 1 &4 &3 \ 0&5 &1 \ 0&0 &1 end$$ является матрица:

    Матрицу, обратную к матрице $$A=begin a_ <11>& a_ <12>& a_<13>\ a_ <21>& a_ <22>& a_<23>\ a_ <31>& a_ <32>& a_ <33>end$$ , находят по формуле:

    где $$A_=(-1)^M_$$ – алгебраическое дополнение элемента $$a_$$ матрицы $$A$$ , $$left | A right |$$ – определитель матрицы $$A$$ .

    1. Найдем определитель матрицы $$A$$ :
      $$left | A right |=1cdot 5cdot 1=5$$ .
    2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$ :
      $$A_<11>=(-1)^2cdot begin 5 & 1\ 0&1 end=5$$ , $$A_<12>=(-1)^3cdot begin 0 & 1\ 0&1 end=0$$ , $$A_<13>=(-1)^4cdot begin 0 & 5\ 0&0 end=0$$ , $$A_<21>=(-1)^3cdot begin 4 & 3\ 0&1 end=-4$$ , $$A_<22>=(-1)^4cdot begin 1 & 3\ 0&1 end=1$$ , $$A_<23>=(-1)^5cdot begin 1 & 4\ 0&0 end=0$$ , $$A_<31>=(-1)^4cdot begin 4 & 3\ 5&1 end=-11$$ , $$A_<32>=(-1)^5cdot begin 1& 3\ 0&1 end=-1$$ , $$A_<33>=(-1)^6cdot begin 1 & 4\ 0&5 end=5$$ .
    3. Найдем матрицу, обратную данной:
      $$A^<-1>=frac<1><5>cdot begin 5 &-4 &11 \ 0 & 1 & -1\ 0& 0& 5 end=begin 1 & -0,8 & -2,2\ 0 & 0,2& -0,2\ 0 & 0& 1 end$$ .
    1. Если определитель матрицы равен нулю, то говорят, что матрица вырождена. Вырожденная матрица обратной матрицы не имеет.
    2. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

    Определитель матрицы $$begin -1 &-2 \ 5& 10 end$$ равен:

    Определитель матрицы второго порядка — это число, которое находят по формуле:
    $$left | begin a_ <11>&a_ <12>\ a_ <21>& a_ <22>end right | = a_<11>a_<22>-a_<12>a_<21>$$ .

    Для определителя матрицы употребляются обозначения: $$left | A right |$$ , $$det A$$ , $$triangle$$ .

    Определитель матрицы $$begin 1 &2 & 1 &0 \ -1& 2 & 4 & 3\ 0& 5 &0 & 0\ 2& -4& 6 & 0 end$$ равен:

      Определитель квадратной матрицы – это число, которое находят по формуле:
      $$begin a_ <11>&a_ <12>&. &a_ <1n>\ a_ <21>&a_ <22>&. &a_ <2n>\ vdots & vdots & vdots & vdots \ a_ &a_ & . & a_ end$$ = $$a_A_+a_A_+. +a_A_$$ ,

    где $$i=overline<1,n>$$ , $$A_$$ – алгебраическое дополнение элемента $$a_$$ матрицы $$A$$ .

  • Минор $$M_$$ элемента $$a_$$ квадратной матрицы – это определитель этой матрицы, у которого отсутствует $$i$$ — я строка и $$j$$ -й столбец.
  • Алгебраическое дополнение $$A_$$ элемента $$a_$$ квадратной матрицы находят по формуле:

    Разложим определитель по элементам третьей строки:
    $$triangle = a_<32>cdot A_<32>=5cdot (-1)^<3+2>cdot M_<32>=-5cdot begin 1 & 1 & 0\ -1 & 4 & 3\ 2& 6&0 end=$$

    Этот определитель можно разложить и по элементам четвертого столбца.
    $$triangle = a_<24>cdot A_<24>=3cdot (-1)^<2+4>cdot M_ <24>= 3 cdot$$ $$begin 1 & 2 &1 \ 0 &5 & 0\ 2& -4 & 6end=$$

    Если $$A=begin 4 & 4\ 8 & 1\ 3 &-2 end$$ $$B= begin 1 & 2\ 4 & 3\ 0 & 1 end$$ и $$C= begin 4 & 3\ 8 & -5\ 1 & 0 end$$ , то значение выражения $$(2B-A)cdot C^T$$ равно:

    1. Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.
    2. Чтобы сложить (вычесть) две матрицы, необходимо сложить (вычесть) их соответствующие элементы.
    3. Транспонировать матрицу – значит, заменить все ее строки соответствующим столбцами.
    4. В результате умножения матрицы $$A_=(a_)_$$ на матрицу $$B_=(b_)_$$ получают матрицу $$C_=(c_)_$$ , элементы которой находят по формуле: $$c_=sum_^a_b_$$ .
      Например:
      $$begin a_ <11>& a_<12>\ a_ <21>& a_ <22>endcdot begin b_ <11>& b_<12>\ b_ <21>& b_ <22>end=begin a_<11>b_<11>+a_<12>b_ <21>& a_<11>b_<12>+a_<12>b_<22>\ a_<21>b_<11>+a_<22>b_ <21>& a_<21>b_<12>+a_<22>b_ <22>end$$ .
    1. $$2B=2cdot begin 1 & 2\ 4 & 3\ 0 & 1 end=begin 2 & 4\ 8 & 6\ 0 & 2 end$$ .
    2. $$2B-A=begin 2 &4 \ 8&6 \ 0 & 2 end-begin 4 &4 \ 8& 1\ 3& -2 end=begin -2 &0 \ 0&5 \ -3&4 end$$ .

    $$(2B-A)C^T=begin -2 & 0\ 0 & 5\ -3& 4 endcdot begin 4 & 8 &1 \ 3 & -5 & 0 end=$$
    $$= begin -2cdot 4+0cdot 3 &-2cdot 8+0 & -2cdot 1+0\ 0cdot 4+5cdot 3 & 0+5cdot (-5) & 0+0\ -3cdot 4+4cdot 3 & -3cdot 8+4cdot (-5) &-3cdot 1+0 end=$$

    1. Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковых размеров.
    2. Умножать можно только согласованные матрицы. Говорят, что матрица $$A$$ согласована с матрицей $$B$$ , если количество столбцов матрицы $$A$$ , равно количеству строк матрицы $$B$$ .
    3. Если имеем два действительных числа $$a$$ и $$b$$ , то справедливо, что $$acdot b=bcdot a$$ (от перестановки множителей произведение чисел не изменится). Если имеем две взаимно согласованные матрицы $$A$$ и $$B$$ , то не обязательно, что $$AB$$ равно $$BA$$ .
  • Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: