Математика Древнего Египта - OXFORDST.RU

Математика Древнего Египта

Математика в Древнем Египте

Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э.

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно [1] , что греческие математики учились у египтян [2] .

Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как в более древние, так и в более поздние времена. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

Содержание

Источники

Основные сохранившиеся источники относятся к периоду Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры:

  • Папирус Ахмеса или папирус Ринда — наиболее объёмный манускрипт, содержащий 84 математические задачи. Написан около 1650 г. до н. э.
  • Московский математический папирус (25 задач), около 1850 г. до н. э., 544 × 8 см.
  • Так называемый «кожаный свиток», 25 × 43 см.
  • Папирусы из Лахуна (Кахуна), содержащие ряд фрагментов на математические темы.
  • Берлинский папирус, около 1300 года до н. э.
  • Каирские деревянные таблички (таблички Ахмима).
  • Папирус Рейснера, примерно XIX век до н. э.

От Нового царства до нас дошли несколько фрагментов вычислительного характера.

Авторы всех этих текстов нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры — это в основном копии, переписанные в период гиксосов. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.

Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным [3] .

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.

Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

Нумерация (запись чисел)

Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч.

Любое число в Древнем Египте можно было записать двумя способами: словами и цифрами. Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные иероглифы:

или то же самое написать цифрами (три символа десятки):

Умножение египтяне производили с помощью сочетания удвоений и сложений. Деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению.

Особые значки обозначали дроби вида и . Однако общего понятия дроби у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.

Пример записи дробей из Папируса Ринда [4]

Арифметика

Знаки сложения и вычитания

Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался иероглиф

Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание». [5]

Сложение

Если при сложении получается число большее десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом.

Например: 2343 + 1671

Собираем все однотипные иероглифы вместе и получаем:

Окончательный результат выглядит вот так:

Умножение

Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать.

Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное переумножение на второй множитель (см. пример).

Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдаленных регионах.

Разложение

Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.

Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:

1 x 2 = 2
2 x 2 = 4
4 x 2 = 8
8 x 2 = 16
16 x 2 = 32

Пример разложения числа 25:

  • Кратный множитель для числа «25» — это 16.
  • 25 — 16 = 9,
  • Кратный множитель для числа «9» — это 8,
  • 9 — 8 = 1,
  • Кратный множитель для числа «1» — это 1,
  • 1 — 1 = 0

Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.

Пример: умножим «13» на «238»:

1 х 238 = 238
4 х 238 = 952
8 х 238 = 1904
13 х 238 = 3094

Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

Уравнения

Пример задачи из папируса Ахмеса:

Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания из результата его трети получается 10.

Геометрия

В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника, трапеции и сферы, могли высчитывать объемы параллелепипеда, цилиндра, конуса и пирамид. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как ; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику.

Египтяне предполагали, что площадь круга S диаметром d равна площади квадрата, сторона которого составляет 8/9 диаметра:

Это правило соответствует значению ≈ 3,1605, (погрешность менее 1 %) [6] .

Ещё одна ошибка содержится в Акмимском папирусе [7] : автор считает, что если радиус круга A есть среднее арифметическое радиусов двух других кругов B и C, то и площадь круга A есть среднее арифметическое площадей кругов B и C.

Вычисление объёма усечённой пирамиды: пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялся по оригинальной, но точной формуле:

Египетский треугольник

Египетским треугольником называется прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

Объём усечённого конуса

Древний свиток папируса, найденный в Оксиринхе, свидетельствует, что египтяне могли вычислять объём усечённого конуса. Эти знания ими использовались для сооружения водяных часов. Так, например, известно, что при Аменхотепе III были построены водяные часы в Карнаке.

Математика Древнего Египта: история возникновения

Первые математические древнеегипетские рукописи датированы началом II тысячелетия до н. э. в то время математика решала чисто практические цели для таких наук и сфер жизни как: астрономия, мореплавание. землемерие, которое греки потом назвали известным нам словом «геометрия».

Как зародилась математика в Древнем Египте?

Использовалась математика Древнего Египта также при строительстве дамб, плотин, каналов. Труды многих ученых по установлению порядка чисел не сохранились по двум причинам:

  1. Папирус — плохой носитель информации, так как сохранял ее: записи выцветали, сам папирус быстро ветшал, а копий работ, естественно не было.
  2. Математики этой страны относились к письменному оформлению своих открытий и решений практических задач не настолько серьезно, как их древнегреческие коллеги. Многие математические задачи, свойства чисел и геометрических фигур передавались в устной форме. Они не преследовали цель накопления, обобщения и сохранение математических знаний. Для них было самым важным практическое применение математической науки на благо человека. Поэтому сегодня математика Древнего Египта для нас часто ограничивается всем известным понятием « египетский треугольник».

Эти две причины объясняют, почему знания о математике и математиках Древнего Египта сохранились до наших дней плохо, хотя можно сказать более категорично, что очень плохо. А математики Древней Греции с усердием и настойчиво учились у исследователей Египта. Они старательно изучали все их папирусные рукописи по математике. Этот факт в истории математике не раскрыт детально. Подробности развития математики в стране фараонов е начинают описывать историки времен воцарения в Древней Греции Птоломеев. В это время начинается бурное и плодотворное объединение египетской и греческой культур.

Читайте также  Нарушение памяти и их коррекция

Значительные математические труды древних египетских математиков

В Древнем Египте ( с 2040 по 1078 годы до н.э) были написаны следующие труды древнеегипетских
математиков:

  1. Папирус Ахмеса (известного еще как папирус Ринда). В настоящее время его первая часть хранится в Британском музее (Лондон), вторая в Нью-Йорке Манускрипт, содержащий 84 задачи. Из этого сборника задача человечество узнало о том, что математика в Древнем Египте достигла высокого уровня и древнеегипетские математики умели:
  • находить квадратный корень;
  • возводить в степень.
  • решали уравнения с одним неизвестным первой и второй степени;
  • в одной из задач речь идет о прогрессиях;
  • очень много задач в этой работе посвящено нахождению площади треугольника, квадрата, круга.

Все задачи имели практический характер и относились к строительству, размежеванию земельных наделов.

Практически все найденные рукописи, свидетельствовали о том, что математика Древнего Египта имела практическую направленность своих задач.

2. Московский папирус содержит намного меньше задач (всего 25) по сравнению с манускриптом Ахмеса. Однако он на 200 лет старше его. Первый владелец его — известный русский египтолог В.С. Голенищев. Практически все приведенные в этом труде задачи посвящены геометрии.

3. Менее значимые в плане количества рассматриваемых задач были Берлинский папирус — «кожаный свиток», папирусы из Лахуна, папирус Рейснера. В этих работах математические задачи перемежевывались с вопросами медицины.

Вклад ученых Древнего Египта в развитие науки

Очень интересной познавательной работой может стать математика Древнего Египта в презентациях, которая раскроет детально вклад египетских математиков в развитие этой науки.

Самыми значительными открытиями в области математики у древних египтян можно считать:

  1. Нумерация чисел. Она была похожа на римскую арефметику. В ней использовались числа, кратные 10. Потом появились значки, обозначающие цифры от 1 до 9.
  2. Умножение чисел. Это действие египтяне выполняли с помощью сочетания сложения и удвоения чисел.
  3. Решение уравнений.
  4. Постановка и решение задач на площади плоских фигур.
  5. Решение задач на вычисление объемов различных стереометрических фигур.
  6. Введение значков сложения и вычитания чисел.

Следует заметить, что всем, кто захочет написать такой большой труд, как математика Древнего Египта в реферате, может найти обширную информацию в научно-популярных изданиях.

Зарождение математики в Древнем Египте

В данной работе произведен краткий обзор методов и приемов, которые использовались жителями Древнего Египта в повседневной жизни.

Скачать:

Вложение Размер
zarozhdenie_matematiki_v_drevnem_egipte_v2.docx 347.02 КБ
matematika_drevnego_egipta.pptx 425.52 КБ

Предварительный просмотр:

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №639 с углубленным изучением иностранных языков

Математика Древнего Египта

Автор :Русакова Дарья

Руководитель: Вдовцова Е.В.

Одна из важнейших задач современности — осмысление многообразия и уникальности древних культур, отдаленных от нынешних временем и пространством. Все они, взятые вместе и представляющие некое цивилизационное целое, своим многообразием и уникальностью в значительной степени повлияли на формирование и характер современной цивилизации, искусства и науки в частности. Именно поэтому, в своей работе мы обратились к математики Древнего Египта, как одной из древнейших цивилизаций.

Древний Египет, как отдельно взятая цивилизация, заинтересовал меня на уроках истории. Математика –школьный предмет, который увлек меня в свои лабиринты несколько лет назад. В своей работе, я хотела углубиться в изучение математики Древнего Египта.

Цель работы заключается в выявлении занимательных математических приемов, известных и используемых в повседневной жизни жителями Древнего Египта.

Для достижения поставленной цели, необходимо решить следующие задачи:

  1. Сбор материала по теме исследования и его обработка.
  2. Обобщение обработанного материала.
  3. Выводы о проделанной работе.
  4. Оформление обобщенного материала.
  5. Подготовка презентации.

Ресурсы, используемые для написания реферата: литературные источники, Интернет — ресурсы.

В последнее время мною замечен некоторый спад мотивации среди моих одноклассников при изучении отдельных предметов. Это определяет необходимость поиска нового материала для увеличения заинтересованности учеников. В нашем исследовании мы предлагаем возможные примеры, которые могут быть использованы как учителям начальных классов на дополнительных занятиях по Интеллектике, так учителям среднего звена для повышения уровня мотивации при изучении конкретных тем по математики, алгебре и геометрии, а так же учителям истории, как иллюстративные приложения на уроках по изучению древних цивилизаций .

Зарождение математики в Древнем Египте

Истоки земной математики обычно относят к Древнему Египту. В языки народов Европы название «Египет» пришло от древних греков и звучало как «Эгиптос». Сами древние египтяне давали своей стране разные, несколько аллегорические наименования, часто олицетворявшие её плодородие — Та-кемет, то есть «Чёрная земля» (имелась в виду плодородная «чёрная земля» берегов Нила, в противоположность «красной земле» окружавшей пустыни) или Та-мери, то есть «Земля мотыги». Греческий историк Геродот, живший в V веке до нашей эры, утверждал о наличии геометрических знаний в Египте более 4000 лет назад. В 1858 г. был найден папирус, который был расшифрован лишь спустя 12 лет. Это папирус Райнда, который содержит 84 математические задачи (см. Приложение Рисунок 1. Папирус Райнда ). Еще один папирус в 1888 году приобрел русский египтолог Владимир Голенищев. Этот свиток длиной 5,5 метров и шириной 8 см включает 25 задач. Сейчас папирус принадлежит Московскому музею изобразительных искусств им. А. С. Пушкина (см. Приложение Рисунок 2. Московский математический папирус ).

2.1.Нумерация

Далее мы обратимся к конкретным примерам математических знаний, которые существовали в Древнем Египте. Первой рассмотрим нумерацию, то есть запись чисел. Она походит на нумерацию, которая известна нам как римская , поэтому рассмотрим детально, что она из себя представляла: были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, которые писались рядом при написании. Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему. В начертании целых чисел поразрядный десятичный принцип. Числа меньше 10 обозначались повторением знака единицы |. Таким же образом повторялись знаки десятки, сотни и т.д.

2.2.Методы вычислений

Вторым рассмотрим методы вычислений. При анализе различных источников нами было выявлено, что все правила счета древних египтян основывались на умении складывать, вычитать и удваивать числа, а так же дополнять дроби, о которых мы поговорим ниже, которые на тот момент уже были известны египтянам, до единицы Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался иероглиф в виде идущих ног Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание». Умножение и деление сводили к сложению при помощи особой операции- многократного удвоения или раздвоения чисел (разделения на два). Отметим, что выглядели такие расчеты довольно громоздко.

Для дробей были специальные обозначения. В древнем Египте были дроби только с числителем, равным единице вида l/n, где n – натуральное число. Такие дроби называются аликвотными (от лат. aliquot – «несколько»). Единственная не аликвотная дробь, которую «признавали» египетские математики, – это 2/3. Иногда вместо деления m:n производили умножение m*1/n. Считаем нужным уточнить, что действия с дробями являлись важной особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи. И только сравнительно небольшой круг вопросов в египетских папирусах сводится к решению простейших уравнений с одним неизвестным. Таким примером можно считать 33-ю задачу из папируса Райнда: «Некое количество, его 2/3, его 1/ 2 и его 1/7, сложенные вместе дают 37. Каково это количество?». Ответ приводится в аликвотных дробях: 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

В египетских папирусах встречаются также задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, что ещё раз подчеркивает не только практический, но и теоретический характер древней математики. Например, 79 задача из парируса Райнда представляет собой облеченную в занимательную форму отвлеченную задачу на геометрическую прогрессию. В задаче имеется 7 домов, в каждом 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев ячменя, каждый колос дает 7 мер зерна. Необходимо найти сумму домов, кошек, мышей и мер зерна.

2.3.Геометрия страны пирамид

Поразительно, но при довольно примитивной и громоздкой арифметике египтяне смогли добиться значительных успехов в геометрии. Поэтому третьим фактом, заинтересовавшим нас в математике Древнего Египта стала геометрия. При анализе источников мы выяснили, что Египтяне умели точно находить площадь поля прямоугольной, треугольной и даже трапециевидной формы. Хотим отметить, что в середине I тысячелетия до н. э. для построения прямого угла египтяне использовали веревку, разделенную узлами на 12 равных частей. Концы веревки связывали и натягивали её на три колышка, чтобы на каждой из трех сторон было 3, 4 и 5 узлов соответственно, тогда между сторонами с 3 и 4 узлами возникал прямой угол. Однако, используя данные литературных источников, мы выяснили, что треугольник, полученный данным образом — это единственный прямоугольный треугольник, который был известен в Древнем Египте. Еще одним интересным фактом будем считать то, что в папирусах нет задач, как-либо связанных с теоремой Пифагора, хотя до расшифровки математических текстов существовало мнение, что древние египтяне были с ней знакомы.

Еще одним важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа π, которое получается из формулы для площади круга диаметра d (площадь круга равна площади квадрата, сторона которого составляет 8/9 диаметра):

Этому правилу из 50-й задачи папируса Райнда соответствует значение π = 3,1605. Однако, каким образом египтяне получили саму формулу, из доступных источников доподлинно нам не удалось выяснить.

В нашей работе хотим особенно отметить тот факт, что древние египтяне использовали не только геометрию на плоскости, но так же и работали с пространственными телами – многогранниками. Одним из них, по нашему мнению, самым «египетским» можно считать пирамиду, так как именно такую форму имеют знаменитые усыпальницы фараонов, о которых мы будем говорить в следующем пункте. Однако заметим, что, кроме объема куба, параллелепипеда, призмы и цилиндра египтяне умели вычислять объем усеченной пирамиды, в основаниях которой лежат квадраты со сторонами a и b , а высота равна h. Они применяли специальную формулу. Эту формулу принято считать высшим достижением древнеегипетской математики.

Тайны египетских пирамид

Общеизвестно, что у жителей Египта был развит культ мертвых. Египтяне верили, что душа когда-нибудь вернется к умершему, поэтому его тело необходимо сохранить, забальзамировав и поместив в надежную гробницу. Самые величественные гробницы для правителей Египта — фараонов — строились в виде гигантских пирамид из каменных блоков. Они считались символом вечности, поэтому египтяне с гордостью говорили: «Все подвластно времени, но само время боится пирамид». Жившие в Египте тысячи лет до нашей эры фараоны Хуфу, Хафра и Менкаур считаются строителями самых знаменитых пирамид в Гизе(см. Приложение Рисунок 3. Пирамиды в Гизе ). Интересным историческим фактом, по нашему мнению, является то, что ни в одном из доступных нам источников нет информации, подтверждающей захоронение этих фараонов в пирамидах, а так же в них ни одна археологическая экспедиция не находила мумий.

До сих пор необъяснимо и то, как могли сохраниться эти сооружения в течение даже не веков, а тысячелетий: большинство строений древнейших цивилизаций давно разрушено, их приходится раскапывать и восстанавливать, а с пирамид лишь обвалилась облицовка, и они являют собой воплощение прошедшей эпохи. Анализируя доступные источники, мы выяснили, что остатки облицовки пирамид исследовал известный археолог XIX века Флиндэс Петри. При этом подчеркивается, что он был ошеломлен, обнаружив, что размеры плит выдержаны с точностью до 2мм, причем стыки подогнаны так, что в них нельзя просунуть лезвие перочинного ножа, что еще раз говорит о практическом применении математики в строительстве. В 1881 году Ф. Петри писал в своей статье: «Даже просто уложить плиты с такой точностью — достижение, но сделать это с цементной связкой- вещь почти невозможная». Средняя ширина зазора составляет 0,5 мм – точность, сравнимая с точностью большинства современных оптических систем. Отметим, что с тыковка облицовочных плит- не единственная особенность великих пирамид. Здесь и точная ориентация по сторонам света, и практически идеальные прямые углы, о которых уже говорилось выше, и невероятная симметрия 4 огромных пирамид. Но самая большая загадка, над которой ученые бьются и по сей день – кто же поднял миллионы блоков на высоту в десятки метров?

Заключение

Подведем итог. Математика в древнем Египте представляла собой совокупность знаний, между которыми еще не существовало четких границ. Это были правила для решения конкретных задач, имевших практическое значение. И лишь постепенно, очень и очень медленно, задачи начали обобщаться и приобретать более абстрактные черты.

По нашему мнению самыми значительными открытиями в области математики у древних египтян можно считать:

  • Нумерация чисел. Она была похожа на римскую арифметику. В ней использовались числа, кратные 10. Потом появились значки, обозначающие цифры от 1 до 9.
  • Умножение чисел. Это действие египтяне выполняли с помощью сочетания сложения и удвоения чисел.
  • Решение уравнений.
  • Постановка и решение задач на площади плоских фигур.
  • Решение задач на вычисление объемов различных многогранников.
  • Введение значков сложения и вычитания чисел.

В результате работы над проектом нами был изучен разнообразный материал по истории математики: статьи из журналов, газет, энциклопедий. Изучены материалы двух видеофильмов, что значительно расширило кругозор.

Список используемых источников

  1. Википедия – свободная энциклопедия:[Электронный ресурс].- режим доступа.- https://ru.wikipedia.org/wiki /Московский_математический_папирус
  2. Википедия – свободная энциклопедия:[Электронный ресурс].- режим доступа.- https://ru.wikipedia.org/wiki/Папирус_Ахмеса
  3. Википедия – свободная энциклопедия:[Электронный ресурс].- режим доступа.- https://ru.wikipedia.org/wiki/Пирамиды_Гизы
  4. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. — М.: Наука, 1967.
  5. История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.

Приложение

Рисунок 1. Папирус Райнда

Рисунок 2. Московский математический папирус

Математика Древнего Египта

Египтяне были самыми практичными из всех народов древности. Они даже не использовали абстрактных вычислений – всегда после числа в египетском папирусе шло наименование. Они не могли сказать – три плюс два будет пять. Они обязательно говорили – три верблюда плюс два верблюда будет пять верблюдов.

Тем более маловероятно, чтобы они могли без какой-либо практической пользы нагрузить себя на пару столетий изнурительными работами по сооружению пирамид. Согласно официальным летописям, основные пирамиды – Розовая, Ломанная, Хеопса, Хефрема и Микерина были построены за относительно короткий исторический период. Значит, была тому определённая цель. А поскольку пирамида – это сплошная математика, то и рассмотрим, на какой математической базе они строились.

Заранее отбросим варианты, что прилетели вдруг инопланетяне на голубом вертолёте и внезапно всё построили. Пирамиды строились долго, перестраивались – это заметно по кладке и были основаны на конкретных математических выкладках. Каких.

Основу математики египтян составляли целые числа и аликвотные дроби. Это такие дроби, когда в числителе всегда единица. Египтянин не понимал дробь 5/6. Он представлял её в виде суммы дробей 1/2+1/3. У всех египетских дробей в числителе всегда были единицы. Посмотрим, какая же в них такая «египетская сила».

Даже к числу Пи, которое египтяне единственные из окружающих их соседей отличали от простой «тройки», добавлялось 1/7. То есть число Пи у египтян было 22/7 или 3 1/7. В нашем десятичном исчислении 3.142857. Вполне достойная точность.

С этим числом даже отдельная история есть. Был у египтян очень удобный измерительный инструмент – кубит, локоть по-русски. Состоял он из шести ладоней о четырёх пальцев каждая. Всего 24 пальца. Замечательное число 24, и тебе на 2, и на 3, 4, 6, 8, 12 делится.

Красота! Но вот эту одну седьмую для числа Пи никак не отмеришь. И придумал тогда фараон, что будет второй, королевский, фараонский локоть на семь ладоней. То есть на 28 пальцев. И тогда одна седьмая для числа Пи очень легко стала браться. Так и стало в Египте два локтя – простой и королевский. Пирамиды мерились почти исключительно в фараонских локтях – королевских кубитах, хотя и простые тоже проскакивали.

Взять хотя бы Камеру Царя в пирамиде Хеопса – её ширина 5.24 м, а длина 10.48 м. Это именно десять (10) на двадцать (20) королевских кубитов. Откуда можно заключить, что королевский кубит был 52.4 см, а простой 45 см. А вот высоту камеры уже отложили в простых кубитах, не королевских. Тринадцать (13) таких кубитов как раз и составили 5.85 м – высоту Камеры Царя.

То есть, высота камеры к ширине, в ладонях, соотносится, как 78 к 70. И всё. Многие же исследователи уже и корень квадратный из 5 тут приспособили, раз число Пи не получалось. При чём тут корень из 5, неизвестно. Главное, чтобы выглядело научно и сакрально. Вся бессмысленность этих «притяжений за уши» иррациональных чисел станет ясна после того, как мы рассмотрим пример классического египетского умножения.

Умножим, к примеру, 15 на 15 столбиком.

Достаточно компактно и информативно, понятно и школьнику и академику. И времени занимает секунд десять, чтобы написать.

А в Древнем Египте выглядело так… Вернее, в Древнем Египте это никак не выглядело, потому что не было там умножения в нашем понимании. Было удвоение. Или многократное удвоение, последовательное возведение в степень двух. Вот такая древняя кибернетика. То есть, брали 15 и раскладывали по степени двух: 15 = 8+4+2+1. А потом каждое из слагаемых умножали на нужное число, вернее вычисляли по таблицам и всё вместе складывали.

То есть, вот такая операция:

15*15 = 8*15 + 4*15 + 2*15 + 1*15 = 120 + 60 + 30 + 15 = 225.

И это умножались два целых числа, без дробных частей. Что творилось с дробями, лучше не начинать… Умножьте, к примеру, по-египетски 345,67 на 55,31. Для этого целые части надо разложить на степени двух, а дробные – на аликвотные дроби, как суммы дробей с числителями, равными единицам. Затем целые части попарно возвести в последовательные степени двух и сложить соответственно, сложить аликвотные дроби, выделить из суммы целые части и добавить к предыдущей сумме. Недели, я думаю, на вычисления вполне хватит. Теперь становится понятно, почему все размеры в пирамидах отложены в целых кубитах, без дробных частей. Вот такая вот «египетская сила» математики. И это мы ещё не касались деления.

Исходя из такой трудоёмкости вычислений, также становится понятным, что начальные знания о пирамидах, а там математика очень серьёзная, были даны египтянам кем-то другим. Ведь никто не строил правильных пирамид до 2600 г до н.э., а потом сразу, за сто лет, были построены все самые большие пирамиды Египта. Если у египтян было это знание раньше, почему они его не использовали? Даже самая продвинутая пирамида 3й династии – пирамида Джосера – по сути была умноженной на три мастабой, которая даже не имела правильного квадратного основания.

И всё очень похоже на то, что как только мощности древне-египетского строительства стали подходить под создание пирамид, так откуда-то «сверху» подоспели и знания. И на этом подъёме, всего за сотню лет египтяне создали сразу всё свое пирамидостроение. И им явно кто-то в этом оказывал математическую и иную спонсорскую помощь, на абсолютно другом математическом и технологическом уровне, который египтяне и наполняли своим каменно-блоковым содержанием.

И что характерно, в дальнейшем пирамидостроение только деградировало, с каменных блоков снова возвращаясь к кирпичу сырцу и земле. И только кубиты и секеды оставались неизменными.

Кстати, о секеде. Ещё одно гениальное творение конструкторской египетской мысли. Если взять три кубита, отвес и наклонную палочку, получится прибор, которым египтяне отмеряли углы пирамид. Назывался он секед.

Угол грани пирамиды Хеопса – 22 пальца. Хотите проверить? Пожалуйста, высота 28 пальцев – королевский кубит, длина 22 пальца. Угол вычисляется как arctg (28/22) = 51.84 градуса. Это и есть угол Пирамиды Хеопса. Египтяне действительно измеряли углы в пальцах.

Ещё нужны примеры? Пожалуйста, соседняя пирамида Хефрена тоже построена на пальцах, там 21 палец: arctg(28/21) = 53.13 градуса. Сходится до сотых.

Хотите ещё пример? Сколько угодно! Многие годы многие исследователи пытаются понять, почему это галереи пирамид спускаются и поднимаются под «священным» углом 26.56 градуса. Сейчас мы раскроем и эту «великую тайну». Вернее, её раскроет технология, которая использовалась египтянами.

Посмотрите на секед, он имеет 2 кубита в длину и один в высоту. Как вы думаете, какой максимально пологий угол возможно на нём отложить? Вы уже догадываетесь? Если измерить arctg (1кубит/2кубита), то есть минимальный угол секеда, это и будет 26.56 градуса. Можете проверить на калькуляторе. Вот такие вот «космические технологии» использовались при строительстве пирамид.

При этом, в пирамиды действительно заложено очень много математики, там нет ни одного случайного размера, очень много отношений золотого сечения, но опять-таки, отношение золотого сечения можно вычислить с любой точностью через обычную последовательность Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи – это такая последовательность натуральных чисел, когда каждое следующее есть сумма двух предыдущих, то есть

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 …

Чем дальше идёт последовательность, тем ближе отношение соседних членов к числу Фи=1.618…

Уже отношение 144/89 = 1.617977528, что обеспечивало абсолютно достаточную степень точности. Поэтому, в пирамиде очень многое построено на числе Фи, и мы это вскорости увидим.

Но последовательность Фибоначчи не одна. Теоретически, их бесчисленное множество.

1, 6, 7, 13, 20, 33, 53, 86… — тоже последовательность Фибоначчи от чисел 1, 6

8, 5, 13, 18, 31, 49, 80, 129, 209, 339… — от чисел 8, 5

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322… от чисел 2, 1

Вообще, последовательность Фибоначчи можно построить так, чтобы она проходила через любое число. Чем, с удовольствием, и пользовались египтяне. Поскольку древне-египетское умножение чрезвычайно трудоёмкое, а деление вообще подобно пытке, то египтянам ничего не оставалось, как пользоваться последовательностями Фибоначчи для этих операций, и от этого все пирамиды есть «одно большое число Фи».

Вот наша задача и будет: поставить себя на место проектировщика пирамиды и понять его первоначальный план.

Математика Древнего Египта

эта книга в 33-й год правления, месяц 4-й наводнения, царя Нижнего Египта Аа-Усер-Ра, одаренного жизнью, в соответствии с записью в древней рукописи, сделанной во время царя Верхнего Египта Ни-маат-Ра. Писец Яхмог записал эту копию». Как отметил издатель папируса Т. Пит, документ «не является математическим трактатом в современном смысле, то есть не содержит серию правил для решения проблем различного характера, а состоит из ряда примеров» 4 . Подобный конкретный характер свойствен всем известным нам египетским математическим текстам. Как отмечал М. Я. Выгодский, все они «содержат либо схему решения, либо его словесный рецепт, но не содержат ни анализа задачи, ни обоснования приведенного рецепта» 5 .

Задачи, излагаемые в «Ринде», очень разнообразны и в большинстве своем имеют чисто практическое значение: вычисление площади поля или вместимости корзины и амбара, раздел имущества между наследниками и т. п. Некоторые задачи папируса (NN 24 — 38) можно назвать алгебраическими, так как в них, как и в задачах NN 1, 19 и 25 московского папируса, речь идет, по существу, о решении уравнений, в которых понятию неизвестного («икс») соответствовало слово «куча». Египетские математики умели также возводить число в степень и извлекать квадратный корень. В «Ринде» содержатся задачи, представляющие теоретический интерес, хотя их изложение дается в догматической форме готовой схемы без какого-либо анализа и доказательства. Так, в задаче N 64 предлагается разделить десять мер зерна между десятью лицами таким образом, чтобы разница в количестве зерна, полученного ими, образовала арифметическую прогрессию. Текст задачи гласит: «Тебе сказано разделить 10 «хекат» ячменя между 10 людьми так, чтобы разница между каждым человеком и его соседом составляла Уз «хекат» ячменя. Средняя доля есть 1 «хекат». Возьми 1 из 10; остаток есть 9. Составь половину разницы: это есть 1/16 «хекат». Повтори ее 9 раз. Вот результат: 1/2 и 1/16 «хекат». Приложи к средней доле. Теперь ты должен вычитать для каждого лица по1/3 «хекат», пока не достигнешь конца» 6 . В конце задачи приводятся все десять долей, и сложением осуществляется проверка решения, показывающая, что сумма действительно равна 10.

В задаче N 79 речь идет о геометрической прогрессии. В условии говорится о 7 домах, о 7 кошках в каждом доме, о 7 мышах, съеденных каждой кошкой, о 7 колосьях, съеденных каждой мышью, и о 7 мерах зерна, которые дает каждый колос. Требуется определить общее количество всех домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна. Приводится правильный ответ — 19507. Исключительный научный интерес представляет задача N 50 на определение площади круга. Метод ее решения предельно прост: предлагается 8/ 9 диаметра круга возвести в квадрат. Суть метода такова. Египтяне заметили, что площадь квадрата со сторонами в 8/9 диаметра почти полностью соответствует площади круга. В самом деле, если вписать квадрат в круг, то площадь квадрата будет меньше площади круга. С другой стороны, если вписать круг в квадрат, то площадь квадрата будет больше площади круга. Но если построить промежуточный квадрат, то его площадь практически совпадет с искомой площадью круга. Стороны этого квадрата и должны составлять 8/9 диаметра круга. Получавшееся небольшое несовпадение не имело для них практического значения. Как установили современные исследователи, подобная же неточность получилась бы, если бы древние египтяне определили площадь круга по формуле S =πd 2 /4, приняв для π значение не в 3,14, а в 3,16. Вопрос, однако, состоит в том, имели ли египтяне представление о числе π как об отношении длины окружности к ее диаметру. По-видимому, все же не имели. Поэтому вряд ли справедливо объявлять заслугой древнеегипетских математиков открытие числа, близкого к истинному значению π.

Об успехах древних египтян в математике свидетельствует московский математический папирус, содержащий 25 задач. Он был переписан в эпоху Среднего царства (во времена XII династии) с более древнего текста, изучался сначала крупнейшим русским египтологом акад. Б. А. Тураевым, а издан был в 1930 г. акад. В. В. Струве. В папирусе приводятся решения достаточно сложных задач, таких, как определение объема усеченной пирамиды, определение площади поверхности полушария. Вот как

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: