Лекции по Линейной алгебре - OXFORDST.RU

Лекции по Линейной алгебре

Иллюстративный видеокурс по линейной алгебре: 11 уроков

Видеокурс по линейной алгебре с большим количеством анимаций будет полезен при создании компьютерной графики и решении задач ML.

Эти красочные, прекрасно иллюстрированные видеоуроки в Full HD разрешении, созданные выпускником Стэнфорда Грантом Сандерсоном, будут полезны всем, кто проходил или проходит курс по линейной алгебре, но не до конца ощутил, зачем это все нужно и как работает.

Уроки идут в порядке, предполагающем их последовательный просмотр – каждое следующее видео использует знания и иллюстрации из предыдущих. В этих уроках вы не найдете расчетов примеров из задачников по линейной алгебре и строгого доказательства теорем, однако визуализируете основные концепции линейной алгебры, действия с векторами и матрицами. Все видео имеют английские авторские субтитры, при этом первые пять также содержат их перевод на русский язык.

Введение в видеокурс о линейной алгебре

Задача этого краткого курса из 11 уроков – уложить в голове всю образную сторону вопросов, лежащих в основании линейной алгебры при помощи видео с анимацией. Знания в линейной алгебре важны для понимания многих технических дисциплин: computer science, статистики, анализа данных, физики, экономики и т. д.

Однако студенты, изучившие курс линейной алгебры и механически научившиеся массе операций, таких как матричное умножение, нахождение определителя и собственных чисел, обычно не представляют зачем на практике нужны эти инструменты. Курс поможет прочувствовать линейную алгебру на интуитивно понятном геометрическом уровне. Визуальные образы позволят пропустить через себя основные концепции линейной алгебры. Вычисления же всегда можно доверить компьютеру.

1. Что мы подразумеваем под векторами?

В основе любого курса по линейной алгебре лежит понятие о векторе. В первом уроке описываются три представления вектора: с точки зрения студента-физика, студента-программиста и математика. Поясняются понятие вектора в привязке к системе координат и запись в виде столбца чисел. Вводятся операции сложения векторов и умножения на скаляр: как геометрически, так и численно. Даются примеры использования операций над векторами в анализе данных и программировании компьютерной графики.

2. Линейные комбинации, линейная оболочка и базисные вектора

Во втором уроке вводится понятие базиса и базисных векторов i и j, а также линейной оболочки как множества линейных комбинаций векторов в двухмерном и трехмерном пространствах. Иллюстрируется представление векторов как точек, в которых расположены концы векторов, исходящих из центра системы координат. Вводятся понятия линейно зависимых и линейно независимых векторов.

3. Линейные преобразования и матрицы

В третьем уроке видеокурса по линейной алгебре показывается геометрическая интерпретация линейных преобразований (отображений), являющихся наиболее простыми из всех нетривиальных преобразований. Начало координат остается на своем месте, а параллельные и равноудаленные прямые линии сохраняют эти свойства при преобразовании. Через линейные отображения базисных векторов естественным образом можно ввести понятие матрицы.

В качестве примеров автором находятся матрицы для поворота вектора на 90° против часовой стрелки и наклона вектора. Иллюстрируется также случай, соответствующий линейно зависимым базисным векторам, когда двумерное пространство вырождается в линию.

4. Перемножение матриц

Итак, умножение матрицы на вектор это фактически линейное преобразование вектора. Но что, если к вектору применяется несколько преобразований? Например, в компьютерной графике один за другим кадры сменяют друг друга, и одно изображение преобразуется в следующее. Такое отображение называют композицией преобразований. Как любое преобразование, оно может быть описано матрицей.

Фактически оно является произведением матриц соответствующих линейных отображений. В уроке иллюстрируется как сама операция умножения матриц, так и представление этой операции через последовательные преобразования базисных векторов. Показывается, почему важен порядок умножения одной матрицы на другую.

4. Дополнение. Трехмерные линейные преобразования

В этом видео линейные преобразования на плоскости расширяются до случая объемных отображений. Для этого используются уже три базисных вектора, а матрицы линейных преобразований имеют размерность 3х3. Перемножение таких матриц ничем не отличается от перемножения матриц 2х2.

5. Определитель матрицы, векторное пространство столбцов, нулевое пространство

В предыдущих уроках вы могли заметить, что одни преобразования в линейной алгебре растягивают пространство, а другие сжимают. Интересно определить число, которое показывает как меняется площадь или объем какой-либо фигуры при таких преобразованиях. В видео демонстрируются линейные преобразования различных фигур и соответствующее изменение их площади.

Параметр этого изменения называют определителем (детерминантом). Показывается, почему равенство определителя нулю соответствует уменьшению размерности пространства, а отрицательное значение – изменению ориентации пространства. Из геометрических соображений объясняется формула нахождения определителя.

6. Обратные матрицы, размерность пространства

В начале видео описывается линейная система уравнений и ее представление через матрицу и два вектора в виде Ax = v, в котором мы знаем матрицу A и вектор v. В геометрическом ключе, ища x, мы ищем вектор, который в результате линейного преобразования A совпадет с вектором v.

Такую задачу можно рассмотреть и в обратном ключе: x это тот вектор, в который преобразуется вектор v в результате преобразования, обратного A. Соответствующее отображение обозначают A -1 . Нахождение такой обратной матрицы позволяет решить первое уравнение в виде x = A -1 v.

Урок содержит множество анимаций, иллюстрирующих эту концепцию. Описываются случаи ненулевого и нулевого определителей линейного преобразования. Вводится понятие ранга матрицы – количества измерений пространства, в которое переводит вектор линейное отображение.

6. Дополнение. Прямоугольные матрицы для линейных преобразований между пространствами разной размерности

Аналогично тому, как в последних видео при помощи квадратных матриц соответствующей размерности было рассмотрено преобразование двумерных векторов в двумерные и трехмерных в трехмерные, возможно и преобразование размерности пространства. В этом видео иллюстрируется как соотносятся размерности таких прямоугольных матриц и пространств, между которыми происходит линейное отображение векторов.

7. Скалярное произведение

В этом видео дается алгебраическое и геометрическое определения скалярного произведения. Геометрическая интерпретация иллюстрирует тот факт, что знак скалярного произведения указывает на отношение направлений двух векторов. При этом, как подтверждают рассуждения, порядок умножения не влияет на результат скалярного произведения. Показывается, что проекции вектора на различные оси есть ничто иное, как скалярные произведения вектора с базисными векторами этих осей. Объясняется, почему скалярное произведение векторов идентично произведению матрицы-строки на матрицу-столбец.

8. Векторное произведение

Геометрический смысл векторного произведения двух векторов – вектор с длиной, равной площади параллелограмма между этими векторами. Направление вектора зависит от ориентации пространства. Соответственно при изменении порядка множителей меняется знак векторного произведения. Таким образом, понятие векторного произведения тесно связано с определением детерминанта.

В начале этого видео для лучшего понимания автор намеренно упрощает картину, усложняя ее по мере рассказа. Показывается как облегчается запись векторного произведения, если воспринимать его как определитель особой матрицы, состоящей из базисных векторов и координат перемножаемых векторов.

8. Продолжение. Векторное произведение в свете линейных преобразований

Отталкиваясь от последней идеи предыдущего видео и нескольких предшествовавших уроков, автор раскрывает идею векторного произведения трех векторов. Показывается связь между векторным и скалярными произведениями в трехмерном пространстве, а также связь между геометрическим и алгебраическим представлением этих операций.

9. Переход к новому базису

Стандартно координаты вектора рассматриваются как скалярные числа, описывающие какое количество каждого из базисных векторов нужно взять, чтобы в сумме получить вектор с такими координатами. В этом видеоуроке показано, что при выполнении определенных условий базис может быть выбран различным образом. Базисные вектора лишь задают сетку пространства.

Урок показывает как преобразовать координаты одного базиса к координатам другого при помощи линейных преобразований в виде матриц, состоящих из базисных векторов и обратных матриц для обратного преобразования. В заключительной части на примере поворота на 90° против часовой стрелки иллюстрируется как изменяются в терминах другого базиса линейные преобразования. В результате объясняется, что означает характерное перемножение матриц вида A -1 MA.

10. Собственные векторы и собственные числа

Собственные векторы и числа представляют одну из наименее интуитивно понятных тем в линейной алгебре. Однако в геометрическом представлении это просто векторы, которые не отклоняются от своего направления в результате соответствующего им линейного преобразования – векторы растягиваются или сжимаются, но не поворачиваются вокруг начала координат.

Читайте также  Глаз как оптическая система

В этом и заключается смысл известного выражения Av = λv – линейное преобразование заменяется на число, называемое собственным. Фактически собственные векторы и числа представляют другой способ рассмотрения линейного преобразования.

В уроке также даются определения диагональной и единичной матриц. Показывается логика нахождения собственных чисел и векторов через нулевой определитель. Иллюстрируется, в каких случаях возможны два, один, ноль или бесконечное количество собственных векторов.

В заключении видео описываются особые свойства диагональных матриц и построение нового базиса на собственных векторах. Последняя операция часто применяется в теории машинного обучения для диагонализации матриц. В конце видео дается небольшое упражнение для закрепления материала.

11. Абстрактные векторные пространства

В заключительном видео курса по линейной алгебре автор возвращается к вопросу первого урока – что представляют собой векторы в самом абстрактном смысле?

Функции и линейные операции над функциями можно рассматривать в векторном ключе. Любые операторы, для которых выполняются свойства аддитивности и мультипликативности, можно рассматривать как линейные преобразования. При этом вместо базисных векторов можно использовать базисные функции.

В уроке эта идея иллюстрируется на примере записи полинома, состоящего из любого числа слагаемых, в виде вектора. Показывается как операция взятия производной может быть реализована при помощи матричного оператора, действующего на такой вектор.

Переводя концепции из других областей математического знания (различных векторных пространств) на язык линейной алгебры и составив соответствующие уравнения, рассмотренные в курсе свойства векторов и линейных отображений можно обобщать на другие области знания.

Лекции по линейной алгебре

Утверждено редакционно-издательским советом института

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, проф. А.М.Аллавердиев ,

Ржавинская Е.В., Олейник Т.А., Соколова Т.В.

Р48 Лекции по линейной алгебре. Уч. пособие. — М.: МИЭТ, 2001. — 92 с.: ил.

Пособие представляет собой краткий курс линейной алгебры, соответствующий действующим в настоящее время государственным образовательным стандартам.

Тщательно продуманное изложение дало возможность в небольшом объеме охватить обширный материал. Лекции 1 и 2 посвящены определителям и матрицам, лекции 3 и 4 — системам линейных уравнений. В лекциях 5 — 8 рассматриваются линейные пространства и линейные операторы, действующие в них. Большое число примеров и упражнений значительно расширяет содержание руководства.

Пособие предназначено для студентов первого курса факультетов МПиТК и ИМЭ.

Ржавинская Елена Владимировна Олейник Татьяна Анатольевна Соколова Татьяна Владимировна

Лекции по линейной алгебре

Редактор Л.М.Рогачева. Выпускающий редактор С.В.Козинцева. Технический редактор Л.Г.Лосякова.

ЛР № 020516 от 12.05.97. Подписано в печать с оригинала макета 07.12.01. Формат 60х84 1/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 5,34. Усл.-изд. л. 4,6. Тираж300 экз. Заказ297.

Отпечатано в типографии ИПК МИЭТ. 103498, Москва, МИЭТ.

Предисловие

Курс «Линейная алгебра» в МГИЭТ, как и в большинстве технических вузов, читается в первом семестре и включает 34 часа лекций и 51 час практических занятий. Пособие написано на основе опыта преподавания авторами этой математической дисциплины на факультетах МП и ТК и ИМЭ. Оно охватывает часть курса, а именно: лекции 1 — 4 посвящены теории систем линейных уравнений, лекции 5 — 8 — линейным векторным пространствам и линейным операторам.

Значительное сокращение числа часов, отведенных на изучение ставшего традиционным курса линейным алгебры, привело к возникновению новой концепции курса (как и вообще подобных «старых» курсов).

Чтобы изложение не стало поверхностным, а сокращение объема материала не сказалось отрицательно на математической эрудиции слушателей, авторы пошли по следующему пути. Многие теоремы приводятся без доказательств, но при этом строго формулируются и иллюстрируются примерами. Усвоению материала, по замыслу авторов, должны способствовать подробно разобранные в тексте примеры и типовые задачи. Кроме того, в конце каждого параграфа приводятся упражнения для самостоятельной работы, к которым предполагается непременно обращаться на практических занятиях.

Таким образом, семинарские занятия примут на себя часть нагрузки по усвоению теоретического материала (значительно большую, чем это было ранее). Кроме того, студенты могут отрабатывать этот материал самостоятельно, формируя навыки работы с книгой, развивая математическое мышление, умение задавать вопросы и искать ответы на них.

При самостоятельной работе с пособием читателю следует обратить внимание на определения и формулировки теорем. Очень полезным при усвоении материала является вывод свойств и доказательство утверждений, формулировки которых приведены в пособии.

Так, в лекции 1 дано понятие матрицы и определителя произвольной размерности, приведены их свойства, часть из которых доказана, а оставшиеся свойства могут быть выведены читателем самостоятельно.

В лекции 2 введено понятие обратной матрицы, указано необходимое и достаточное условие ее существования и обоснован алгоритм построения. Доказательство свойств обратной матрицы предоставлено читателю в качестве упражнения. Кроме того, здесь же введено понятие ранга матрицы, приведены способы его нахождения.

В лекции 3 рассмотрены основные понятия, связанные с системами линейных уравнений, обоснован метод Гаусса их решения.

Лекция 4 посвящена общей теории систем линейных уравнений: доказано достаточное условие существования и единственности решения системы из n линейных уравнений с n неизвестными, обоснован алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений, введено понятие фундаментальной системы решений однородной системы, рассмотрена их связь с решениями неоднородной.

В лекции 5 введено аксиоматическое определение линейного пространства, приведены различные примеры, большое внимание уделено проверке аксиом для конкретных пространств.

В лекции 6 доказана теорема о преобразовании координат при переходе от одного базиса к другому, дано определение подпространств

и приведены их примеры.

Лекция 7 рассматривает понятие линейного оператора, его матрицы, доказана теорема о матрицах линейного оператора в разных базисах. Дано определение собственных векторов и собственных значений линейного оператора, доказана теорема о приведении матрицы линейного оператора к диагональному виду.

Лекция 8 посвящена евклидовым пространствам. Большое внимание уделено примерам и проверке аксиом. Введено понятие ортогонального и ортонормированного базиса, обоснован процесс ортогонализации.

Таким образом, в пособии отражены те темы и разделы курса «Линейная алгебра», которые вызывают наибольшее затруднение при изучении. Авторы считают, что пособие частично или полностью может быть использовано на всех технических факультетах.

Линейная алгебра

Лине́йная а́лгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно. Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках.

Содержание

Предмет линейной алгебры

К линейной алгебре относят [1] :

  • теорию линейных уравнений
  • теорию определителей
  • теорию матриц
  • теорию векторных пространств и линейных преобрахований в них
  • теорию форм (например, квадратичных)
  • теорию инвариантов (частично)
  • тензорное исчисление (частично)

Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейныс пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа [1] .

Исторический очерк

Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Линейные уравнения, как уравнения прямых и плоскостей, стали естественным предметом изучения после изобретения Декартом и Ферма метода координат (около 1636) [источник?] .

Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как теория матриц и определителей [1] . В 1750 году для решения систем линейных уравнений было предложено правило Крамера (число уравнений равно числу неизвестных и определитель от коэффициентов не равен нулю), а в 1849 году — метод Гаусса [2] .

Гамильтон в своей работе 1833 представлял комплексные числа в виде, как мы бы сейчас сказали, двумерного вещественного векторного пространства, ему принадлежит открытие кватернионов, а также авторство термина «вектор». Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867). Грассман в работах 1844 и 1862 года изучает то, что мы теперь назвали бы алгебрами, и его формальное изложение по существу является первой аксиоматической теорией алгебраических систем. В явном виде аксиомы линейного пространства сформулированы в работе Пеано (1888) [источник?] .

См. также

Примечания

  1. 123Линейная алгебра. Большая советская энциклопедия. Проверено 20 декабря 2012.
  2. Виноградов И. М. Линейная алгебра // Математическая энциклопедия. — М .: Советская энциклопедия, 1977.
Читайте также  О профессии повара

Литература

  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру, Ч. 2: Линейная алгебра. М.: МЦНМО, 2009.
  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
  • В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
  • Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
  • Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры.-М.:Наука 1983, 336с.
  • Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных.-Л.:ЛГУ 1985, 496с.
  • Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. — М .: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 248 с.
  • Сандаков Е. Б. Основы аналитической геометрии и линейной алгебры: учебное пособие.-М.:МИФИ, 2005.-308с.
  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.-М.: Наука 1966, 576с.
  • Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
  • Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.-М.:Наука 1969, 528с.
  • Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.-СПб.: Лань 2005, 304с.
  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры.-М.:Наука 1968, 331с.
  • Ланкастер П. Теория матриц.-М.:Наука 1973, 280с.
  • Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.-М.:Наука 1966, 384с.
  • Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения.-М.:Мир 1980, 454с.
  • Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- 356с.
  • Халмош П. Конечномерные векторные пространства.-М.:Физматгиз 1963, 264с.
  • Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — М .: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
  • Шилов Г. Е. Математический анализ (Конечномерные линейные пространства).- 264с.
  • Тыртышников Е. Е.Матричный анализ и линейная алгебра. Курс лекций для студентов факультета ВМК, МГУ.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Шарипов Р. А., Курс линейной алгебры и многомерной геометрии, — БашГУ, Уфа, 1996.
Элементарная алгебра • Линейная алгебра (Полилинейная алгебра) • Абстрактная алгебра
Абстрактная алгебра Коммутативная алгебра • Теория представлений • Дифференциальная алгебра • Гомологическая алгебра • Универсальная алгебра • Теория категорий
Геометрия Алгебраическая геометрия • Аналитическая геометрия • Евклидова геометрия • Неевклидова геометрия • Планиметрия • Стереометрия • Тригонометрия
Топология Общая топология • Алгебраическая топология
Смежные
направления
Дифференциальная геометрия и топология • Геометрическая топология

Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Вычислительная математика
  • Математическая статистика

Смотреть что такое «Линейная алгебра» в других словарях:

линейная алгебра — Математическая дисциплина, раздел алгебры, содержащий, в частности, теорию линейных уравнений, матриц и определителей, а также теорию векторных (линейных) пространств. Линейная зависимость [linear dependence] «соотношение вида: a1x1 + a2x2 + … +… … Справочник технического переводчика

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА — важная в приложениях часть алгебры, содержащая, в частности, теорию линейных алгебраических уравнений, определителей, матриц … Большой Энциклопедический словарь

линейная алгебра — сущ., кол во синонимов: 1 • линал (1) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Линейная алгебра — [linear algebra] математическая дисциплина, раздел алгебры, содержащий, в частности, теорию линейных уравнений, матриц и определителей, а также теорию векторных (линейных) пространств … Экономико-математический словарь

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, в к ром изучаются векторные (линейные) пространства, линейные операторы (линейные отображения), линейные, билинейные и квадратичные функции (функционалы или формы) на векторных пространствах. Исторически первым разделом Л. а. была … Математическая энциклопедия

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА — численные методы раздел вычислительной математики, посвященный математич. описанию и исследованию процессов численного решения задач линейной алгебры. Среди задач Л. а. наибольшее значение имеют две: решение системы линейных алгебраич. уравнений… … Математическая энциклопедия

линейная алгебра — важная в приложениях часть алгебры, содержащая, в частности, теорию линейных алгебраических уравнений, определений, матриц. * * * ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА, важная в приложениях часть алгебры, содержащая, в частности, теорию линейных… … Энциклопедический словарь

линейная алгебра — tiesinė algebra statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. linear algebra vok. lineare Algebra, f rus. линейная алгебра, f pranc. algèbre linéaire, f … Fizikos terminų žodynas

Линейная алгебра — наиболее важная в приложениях часть алгебры (См. Алгебра). Первым по времени возникновения вопросом, относящимся к Л. а., была теория линейных уравнений (См. Линейное уравнение). Развитие последней привело к созданию теории определителей… … Большая советская энциклопедия

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА — частный случай операторного кольца … Математическая энциклопедия

Нежное введение в линейную алгебру

Дата публикации 2018-01-26

Что такое линейная алгебра?

Линейная алгебра — это область математики, которая, как все считают, является предпосылкой для более глубокого понимания машинного обучения.

Хотя линейная алгебра является большой областью со многими эзотерическими теориями и открытиями, инструментальные средства и обозначения, взятые из этой области, полезны для практиков машинного обучения. Имея прочную основу линейной алгебры, можно сосредоточиться только на хороших или соответствующих деталях.

В этом уроке вы узнаете, что такое линейная алгебра с точки зрения машинного обучения.

После завершения этого урока вы узнаете:

  • Линейная алгебра — это математика данных.
  • Линейная алгебра оказала заметное влияние на область статистики.
  • Линейная алгебра лежит в основе многих практических математических инструментов, таких как ряды Фурье и компьютерная графика.

Обзор учебника

Этот урок разделен на 4 части; они есть:

  1. Линейная алгебра
  2. Численная линейная алгебра
  3. Линейная алгебра и статистика
  4. Приложения линейной алгебры

Линейная алгебра

Линейная алгебра является разделом математики, но истина в том, что линейная алгебра — это математика данных. Матрицы и векторы являются языком данных.

Линейная алгебра о линейных комбинациях. То есть, используя арифметику для столбцов чисел, называемых векторами, и массивов чисел, называемых матрицами, для создания новых столбцов и массивов чисел. Линейная алгебра — это исследование прямых и плоскостей, векторных пространств и отображений, необходимых для линейных преобразований.

Это относительно молодая область исследований, которая первоначально была формализована в 1800-х годах для поиска неизвестных в системах линейных уравнений. Линейное уравнение — это просто последовательность терминов и математических операций, где некоторые термины неизвестны; например:

Подобные уравнения являются линейными в том смысле, что они описывают линию на двумерном графе. Линия происходит от вставки различных значений в неизвестный x, чтобы узнать, что уравнение или модель делает со значением y.

Мы можем выстроить систему уравнений одинакового вида с двумя или более неизвестными; например:

Столбец значений y может быть взят в качестве вектора столбца выходных данных уравнения. Два столбца значений с плавающей точкой являются столбцами данных, скажем, a1 и a2, и могут быть приняты в качестве матрицы A. Два неизвестных значения x1 и x2 могут быть взяты в качестве коэффициентов уравнения и вместе образуют вектор неизвестных б предстоит решить. Мы можем написать это компактно, используя линейную алгебраическую запись как:

Проблемы этой формы обычно сложно решить, потому что есть больше неизвестных (здесь у нас есть 2), чем есть уравнения для решения (здесь у нас есть 3). Кроме того, часто не существует ни одной прямой, которая могла бы безошибочно удовлетворить все уравнения. Системы, описывающие проблемы, которые нас часто интересуют (например, линейная регрессия), могут иметь бесконечное число решений.

Это дает небольшой вкус самой сути линейной алгебры, которая интересует нас как практиков машинного обучения. Большая часть остальных операций посвящена тому, чтобы сделать эту проблему и проблемы, такие как ее, легче понять и решить.

Численная линейная алгебра

Применение линейной алгебры в компьютерах часто называют числовой линейной алгеброй.

«Численная» линейная алгебра действительно применяется линейной алгеброй.

Это больше, чем просто реализация операций линейной алгебры в библиотеках кода; это также включает в себя тщательное решение проблем прикладной математики, таких как работа с ограниченной точностью вычислений с плавающей запятой цифровых компьютеров.

Читайте также  Дисфункциональные маточные кровотечения

Компьютеры хороши в выполнении вычислений линейной алгебры, и большая часть зависимости от графических процессоров (GPU) с помощью современных методов машинного обучения, таких как глубокое обучение, обусловлена ​​их способностью быстро вычислять операции линейной алгебры.

Эффективные реализации векторных и матричных операций изначально были реализованы на языке программирования FORTRAN в 1970-х и 1980-х годах, и большая часть кода или кода, портированного из этих реализаций, лежит в основе большей части линейной алгебры, выполняемой с использованием современных языков программирования, таких как Python.

Три популярные библиотеки числовой линейной алгебры с открытым исходным кодом, которые реализуют эти функции:

  • Пакет линейной алгебры или LAPACK.
  • Основные подпрограммы линейной алгебры, или BLAS (стандарт для библиотек линейной алгебры).
  • Автоматически настраиваемое программное обеспечение линейной алгебры, или ATLAS.

Часто, когда вы прямо или косвенно вычисляете операции линейной алгебры с помощью алгоритмов более высокого порядка, ваш код, скорее всего, склоняется к использованию одной из этих или подобных библиотек линейной алгебры. Название одной из этих базовых библиотек может быть вам знакомо, если вы установили или скомпилировали любую из числовых библиотек Python, таких как SciPy и NumPy.

Линейная алгебра и статистика

Линейная алгебра является ценным инструментом в других областях математики, особенно в статистике.

Обычно студенты, изучающие статистику, ожидают увидеть по крайней мере один семестр линейной алгебры (или прикладной алгебры) на уровне бакалавриата.

Влияние линейной алгебры важно учитывать, учитывая фундаментальные отношения, которые обе области имеют с областью прикладного машинного обучения.

Некоторые четкие отпечатки линейной алгебры на статистике и статистических методах включают в себя:

  • Использование векторных и матричных обозначений, особенно с многомерной статистикой.
  • Решения для наименьших квадратов и взвешенных наименьших квадратов, например, для линейной регрессии.
  • Оценки среднего и дисперсии матриц данных.
  • Ковариационная матрица играет ключевую роль в полиномиальных гауссовых распределениях.
  • Анализ основных компонентов для сокращения данных, который объединяет многие из этих элементов.

Как видите, современная статистика и анализ данных, по крайней мере, в том, что касается интересов специалиста по машинному обучению, зависят от понимания и инструментов линейной алгебры.

Приложения линейной алгебры

Поскольку линейная алгебра является математикой данных, инструменты линейной алгебры используются во многих областях.

В своей классической книге на тему «Введение в линейную алгебру«Гилберт Странг приводит главу, посвященную применению линейной алгебры. В нем он демонстрирует конкретные математические инструменты, основанные на линейной алгебре. Вкратце они:

  • Матрицы в технике, такие как линейка пружин.
  • Графики и сети, такие как анализ сетей.
  • Марковские матрицы, население и экономика, такие как рост населения.
  • Линейное программирование, метод симплексной оптимизации.
  • Серия Фурье: линейная алгебра для функций, широко используемая в обработке сигналов.
  • Линейная алгебра для статистики и вероятности, например наименьших квадратов для регрессии.
  • Компьютерная графика, такая как различный перевод, масштабирование и поворот изображений.

Другое интересное применение линейной алгебры состоит в том, что это тип математики, используемый Альбертом Эйнштейном в некоторых частях его теории относительности. Конкретно тензоры и тензорное исчисление. Он также ввел в физику новый тип обозначений линейной алгебры, называемый обозначениями Эйнштейна, или соглашением Эйнштейна о суммировании.

расширения

В этом разделе перечислены некоторые идеи по расширению учебника, которые вы, возможно, захотите изучить.

  • Поиск книг и в Интернете по 5 цитат, определяющих области линейной алгебры.
  • Исследуйте и перечислите еще 5 приложений или применений линейной алгебры в области вероятности и статистики поля.
  • Перечислите и напишите краткие определения для 10 терминов, используемых в описании линейной алгебры.

Если вы исследуете какое-либо из этих расширений, я хотел бы знать.

Дальнейшее чтение

Этот раздел предоставляет больше ресурсов по теме, если вы хотите углубиться.

книги

  • Введение в линейную алгебру, 2016
  • Численная линейная алгебра, 1997.
  • Линейная алгебра и матричный анализ для статистики2014

статьи

  • Линейная Алгебра в Википедии
  • Категория линейной алгебры в Википедии
  • Линейная алгебра Список тем в Википедии
  • LAPACK в Википедии
  • Основные подпрограммы линейной алгебры в Википедии
  • Автоматически настраиваемое программное обеспечение линейной алгебры в Википедии
  • Запись Эйнштейна в Википедии
  • Математика общей теории относительности в Википедии

Похожие сообщения

Резюме

В этом уроке вы обнаружили нежное введение в линейную алгебру с точки зрения машинного обучения.

В частности, вы узнали:

  • Линейная алгебра — это математика данных.
  • Линейная алгебра оказала заметное влияние на область статистики.
  • Линейная алгебра лежит в основе многих практических математических инструментов, таких как ряды Фурье и компьютерная графика.

У вас есть вопросы?
Задайте свои вопросы в комментариях ниже, и я сделаю все возможное, чтобы ответить.

Курс лекций по аналитической геометрии и линейной алгебре, Щукин М.В., 2007

Курс лекций по аналитической геометрии и линейной алгебре, Щукин М.В., 2007.

Курс лекций предназначен для студентов экологических специальностей вузов с расширенной программой по математике и охватывает материал по линейной алгебре и аналитической геометрии.

Векторы.
В курсе элементарной фишки некоторые физические величины, например температура, объем, масса тела, плотность и другие вполне определяются числом. Такие величины называются скалярами. Для определения же некоторых других величин, например силы, скорости, ускорения и т. д. кроме числовых значений, необходимо задать еще и направление их в пространстве. Такие величины называются векторными.

Определение 1. Направленный отрезок, одна из граничных точек которого принята за начало, а другая за конец, называется вектором.

СОДЕРЖАНИЕ.
ВВЕДЕНИЕ.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.
Лекция № 1. Координаты и векторы в трехмерном евклидовом пространстве.
1.1. Векторы.
1.2. Действия над векторами.
1.3. Базис.
1.4. Декартова система координат.
Лекция № 2. Основы векторной алгебры.
2.1. Скалярное произведение векторов.
2.2. Векторное произведение векторов.
Лекция № 3. Преобразования координат.
3.1. Движения на плоскости.
3.2. Полярная система координат на плоскости.
3.3. Цилиндрическая система координат.
3.4. Сферическая система координат в пространстве.
ТЕОРИЯ МАТРИЦ, ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ.
Лекция №4. Основы теории матриц.
4.1. Матрицы.
4.2. Операции над матрицами.
Лекция № 5. Определитель матрицы.
5.1. Перестановки.
5.2. Определитель.
5.3. Свойства определителя.
5.4. Разложение определителя по строке или столбцу.
5.5. Обратная матрица.
5.6. Ранг матрицы.
Лекция № 6. Системы линейных уравнений.
6.1 Матричная запись системы уравнений.
6.2. Решение системы.
6.3. Метод Гаусса.
6.4. Метод Крамера.
6.5. Системы однородных уравнений.
Лекция № 7. Эквивалентность и подобие матриц.
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.
Лекция № 8. Прямые и плоскости.
8.1. Прямые на плоскости.
8.2. Плоскости в пространстве.
8.3. Прямые в трехмерном евклидовом пространстве.
Лекция № 9. Кривые на плоскости.
9.1. Алгебраические кривые.
9.2. Парабола.
9 3. Эллипс.
9.4. Гипербола.
Лекция № 10. Алгебраические поверхности второго порядка в пространстве.
10.1. Поверхности и линии в пространстве.
10.2. Поверхности второго порядка.
10.3. Конус второго порядка.
10.4. Эллипсоид.
10.5. Однополостный гиперболоид.
10.6. Двуполостный гиперболоид.
10.7. Эллиптический параболоид.
10.8. Гиперболический параболоид.
10.9 Цилиндрические поверхности.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.
Лекция №11. Квадратичные формы.
Лекция №12. Линейные пространства.
12.1. Определение линейного пространства.
12.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
12.3. Размерность и базис линейного пространства. Изоморфизм.
12.4. Координаты вектора.
12.5. Преобразование координат.
Лекция № 13. Линейные операторы.
13.1. Определение линейного оператора.
13.2. Матрица линейного оператора.
13.3. Характеристическое уравнение линейного оператора.
13.4. Евклидово пространство.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Курс лекций по аналитической геометрии и линейной алгебре, Щукин М.В., 2007 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: