Кривые и поверхности второго порядка - OXFORDST.RU

Кривые и поверхности второго порядка

Циркулярные кривые 2-го порядка

Как известно, кривыми Безье нельзя построить дугу окружности или эллипса. В этой статье рассматриваются кривые, лишённые такого недостатка.

Кривые Безье

Логика построения кривых Безье хорошо понятна из следующей анимации:

Чтобы получить формулу непосредственно из графического представления, достаточно определить вспомогательную функцию для линейной интерполяции между двумя точками, в которая при изменении параметра t от 0 до 1 возвращает промежуточные значения от a до b:

С её помощью можно последовательно найти необходимые точки — сначала найти

а затем уже через них найти

При желании, можно подставить функции друг в друга и сократить — хотя это особо и не упростит вычисления, зато позволит обобщить кривые на произвольное количество опорных точек (через полиномы Бернштейна). В нашем случае получим

Увеличение порядка кривых достигается тривиально — исходные точки задаются не константно, а как результат интерполяции между n+1 других контрольных точек:

Циркулярные кривые

Дуга окружности

Чтобы похожим образом построить дугу окружности, необходимо определить соответствующую логику построения — по аналогии с черчением окружности циркулем.

Изначально нам неизвестен центр окружности d — он находится через пересечение перпендикуляров к касательным в точках a и b (далее узловых); сами же касательные задаются с помощью точки c (далее направляющей). Для построения произвольной дуги окружности (меньшей 180°) достаточно, чтобы расстояния от направляющей точки до узловых были одинаковыми.

Дуга эллипса

Построить дугу эллипса уже посложнее — потребуется два вектора, вращающихся в разные стороны (подробнее здесь)

Используя озвученный выше способ нахождения точки d, мы уже не можем построить произвольную дугу эллипса — только лишь от 0° до 90° (в том числе и повёрнутую на некоторый угол).

Дуга гипотрохоиды

Задав условие, что в начале и конце черчения векторы должны лежать на одной прямой, мы получим дугу гипотрохоиды во всех остальных случаях. Это условие не случайно и (помимо однозначного определения кривой) гарантирует совпадение касательных в узловых точках. Как следствие, угловые пути, которые проходят оба вектора, станут разными, но в сумме по-прежнему будут давать 180°.

Как изменяется форма кривой в зависимости от положения направляющей точки, можно посмотреть на следующей анимации:

Алгоритм

Поскольку здесь мы имеем вращения на двумерной плоскости, математику построения этих кривых удобно описывать через комплексные числа.

1) находим точку пересечения нормалей касательных, проведённых от направляющей точки к узловым:

(здесь звёздочка означает комплексное сопряжение).

2) зная d, находим длины нормалей

и их сумму и разность

3) находим единичный вектор, от которого начинается построение

4) находим угловые пути, которые должны пройти каждый из векторов

При умножении векторов их длины умножаются, а углы — складываются. Здесь деление используется для противоположной задачи — найти разницу углов, т. е. угол между векторами.

Поскольку для функции аргумента длина вектора не играет роли, тот же результат можно получить и заменив деление умножением на комплексно сопряжённый вектор — такой вариант даже предпочтительнее, поскольку будет более численно устойчив на очень малых значениях из-за отсутствия деления; здесь же выбор в пользу деления сделан исключительно ради наглядности.

Здесь имеется ещё один крайне важный момент. Если бы мы сначала нашли углы для каждого вектора по отдельности, а потом бы считали разницу как

— результат не всегда был бы корректным из-за многозначности функции аргумента.

5) последовательно изменяя t от 0 до 1 с некоторым шагом, находим принадлежащую кривой точку по формуле

Циркулярные сплайны

Так же, как и кривые Безье, эти кривые можно совмещать для кусочно-непрерывного построения сплайнов. Для обеспечения гладкости в узловых точках (стыковки) необходимо, чтобы узловая точка находилась на одной линии с двумя соседними направляющими точками. Для этого можно задавать узловые точки не явным образом, а через интерполяцию направляющих точек. Их также можно не задавать вообще, вычисляя полностью автоматически — например, как среднее между направляющих точек:

Справа для сравнения использован тот же подход с кривыми Безье 2-го порядка.

Замечания и нюансы

В отличие от кривых Безье, здесь кривая не всегда лежит внутри фигуры из линий, соединяющих контрольные точки, например

Кроме того, существует вырожденный случай, который необходимо обрабатывать отдельно — когда направляющая точка лежит на одной прямой с узловыми точками. При этом кривая вырождается в прямую, а при попытке вычислить точку d возникает деление на ноль.

У этих кривых также имеется ограничения на кривизну линии, поскольку в соответствии с алгоритмом выбирается наименьший путь следования и кривая не может обогнуть больше, чем 180°. Это приводит к тому, что при кусочно-непрерывной интерполяции могут возникать острые углы при определённом положении направляющих точек (справа — те же точки для Безье):

Заключение

Дальнейшим развитием рассмотренного метода построения кривых является увеличение количества векторов, участвующих в построении кривой и, соответственно, увеличение количества направляющих точек. Однако, в отличие от кривых Безье, повышение порядка здесь не является очевидным и требует отдельного вдумчивого размышления. Также возможны различные методы комбинации их с кривыми Безье — в частности, интерполяции центра окружности рисующих векторов.

Рассмотренный метод построения кривых также не является единственным, частным случаем которого являются дуги окружности и эллипса — как минимум, эллипс можно построить через пересечение прямых в параллелограмме (правда, в этом варианте автор потерпел неудачу). Возможно, что существуют и другие решения, в том числе и варианты описанного в статье — пишите в комментариях, если вам что-то известно на эту тему.

Исходный код статьи можно скачать на GitHub.

Глава 3 кривые и поверхности второго порядка § 3 1 кривые второго порядка заданные каноническими уравне­ниями 3 1 1 общий вид уравнения второго порядка

Лекция № 10 (03.11.09)

Глава 3. Кривые и поверхности второго порядка

§ 3.1. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравне­ниями

3.1.1. Общий вид уравнения второго порядка

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. (1)

Левая часть уравнения (1) представляет собою многочлен второй степени (за ис­ключением случая, когда A = B = C = 0, и тогда получается многочлен первой степени , или линейный ). Вообще многочленом ( полиномом ) от данных переменных называется сумма нескольких одночленов от этих переменных. Одночлен представляет собою произведение нескольких переменных в целых неотрицательных степенях, умноженное на числовой ко­эффициент . Степенью , или измерением одночлена называется сумма показателей степе­ней всех входящих в него переменных. Например, −25 y 3 z 2 есть одночлен пятой степени (пятого измерения) от переменных x , y , z . Одночлен нулевого измерения − это свободный член . Степенью многочлена называется максимальная степень входящих в него одночле­нов. Одночлены измерения не более двух от двух переменных x и y − это те и только те, которые входят в левую часть уравнения (1). Поэтому эта левая часть представляет собой общий вид многочлена второй степени.

Определение 1. Уравнение (1) (за исключением случая, когда A = B = C = 0) назы­вается уравнением второго порядка .

Определение 2. Фигурой ( линией , кривой ) второго порядка называется множество точек плоскости, для которого существует такое уравнение второго порядка, что точка принадлежит этому множеству тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют этому уравнению.

Читайте также  Машиностроительный комплекс России Понятие и структура

Примечание 1. Если A = B = C = 0, то получается линейное уравнение . Этот случай был полностью разобран раньше: получается либо прямая, либо пустое множество, либо вся плоскость.

Примечание 2. С точки зрения определения 2 прямая линия является линией вто­рого порядка. Например, ось ординат может быть задана уравнением второго порядка x 2 = = 0.

3.1.2. Канонические уравнения классических кривых второго по­рядка

Чтобы исследовать форму этой кривой, перепишем её уравнение в виде:

Из этих формул видно, что для всех точек кривой  x  ≤ a (область определения функций в последнем равенстве). Исследуя эти функции методами математического анализа (возрас­тание, убывание, непрерывность), получаем такой рисунок:

Точки ( a ; 0) и (0; b ) принадлежат кривой и являются её точками пересечения с координат­ными осями. Поэтому параметры a и b соответственно называются большой и малой полу­осями .

В частном случае a = b получаем окружность радиуса a с центром в начале коор­динат, т. к. наше каноническое уравнение равносильно в этом случае такому:

А теперь дадим более общее определение эллипса.

Определение 3. Эллипсом называется плоская фигура, которая в некоторой сис­теме координат обладает каноническим уравнением вида (2).

При a = b получается так называемая равнобочная гипербола.

Гипербола состоит из двух ветвей, каждая из которых неограниченно приближа­ется к двум прямым, называемым асимптóтами (на моём рисунке это не очень хорошо получилось). Способ нахождения асимптот (без обоснования): заменяем в каноническом уравнении 1 на 0:

Определение 4. Гиперболой называется плоская фигура, которая в некоторой сис­теме координат обладает каноническим уравнением вида (3).

Определение 4. Параболой называется плоская фигура, которая в некоторой сис­теме координат обладает каноническим уравнением вида (4).

§ 3.2. Приведение уравнения кривой второго порядка к канониче­скому виду

3.2.1. Формулировка основной теоремы (теорема о кривых второго порядка)

Теорема ( о кривых второго порядка ). Любое уравнение второго порядка задаёт на плоскости одну из сле­дующих линий:

4) пару пересекающихся прямых;

5) пару параллельных прямых;

8) пустое множество.

Более того, в первых трёх случаях после не более чем двух поворотов и одного парал­лельного переноса осей координат уравнение кривой можно привести к каноническому виду.

Эта теорема будет доказана постепенно, после применения нескольких преобразо­ваний системы координат.

3.2.2. Преобразование координат точек при повороте и параллельном пе­реносе

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. (1)

Пусть у нас имеются в одной и той же плоскости две декартовы прямоугольные системы координат, которые мы будем называть старой и новой . Тогда каждая точка на­шей плоскости будет иметь две пары координат:

M = ( x ; y ) – координаты точки M в первоначальной (старой) системе координат.

M = ( x 1 ; y 1 ) – координаты точки M в новой системе координат.

В качестве первого примера совершим поворот осей координат как твёрдого тела вокруг начала координат в положительном направлении вращения (т. е. против часовой стрелки) на угол α. (Угол α может быть отрицательным, в таком случае это будет факти­чески поворот по часовой стрелке.) Тогда связь между старыми и новыми координатами каждой точки выражается, как оказывается, следующими формулами:

Эти формулы будут доказаны позже.

2) При параллельном переносе

Другой пример: перенесём оси координат параллельно некоторому вектору как твёрдое тело. Посмотрим, как будут изменяться координаты каждой точки.

= < x 0, y 0 >– координаты нового начала в старой системе координат.

= < x 1 , y 1 >– координаты точки M в новой системе координат.

= < x , y >– координаты точки M в старой системе координат.

3.2.3. Уничтожение члена с x 1 y 1

A ( x 1 cosα – y 1 sinα) 2 + B ( x 1 cosα – y 1 sinα)∙( x 1 sinα + y 1 cosα) + C ( x 1 sinα + y 1 cosα) 2 +

+ D ( x 1 cosα – y 1 sinα) + E ( x 1 sinα + y 1 cosα) + F = 0. (2)

Если мысленно раскрыть скобки, то видно, что новая левая часть также будет представ­лять собою многочлен степени не выше двух от новых переменных x 1 и y 1 . Выпишем сум­марный коэффициент при x 1 y 1 :

B 1 = −2 A cosα∙sinα − B sin 2 α + B cos 2 α + 2 C cosα∙sinα. (*)

Мы хотим подобрать угол α так, чтобы B 1 x 1 y 1 обратилось в нуль. (При этом можно счи­тать, что B ≠ 0, ибо в противном случае этот член отсутствует сразу.)

Для этого преобразуем и приравняем к нулю правую часть равенства (*):

B sin 2 α + 2( A − C ) cosα∙sinα − B cos 2 α = 0; │: ‌‌‌‌‌‌‌‌cos 2 α

B tg 2 α+2( A − C ) tgα − B =0.

Четверть дискриминанта = ( A − C ) 2 + B 2 > 0;

t 1 ∙ t 2 = −1 (по теореме Viète’а).

Одно из двух чисел t 1 и t 2 положительно, обозначим это положительное число t 0 . Уравнение tgα = t 0 всегда имеет решение, так что нужное нам α все­гда найдётся. Более того, т. к. t 0 положительно, можно найти решение . Далее воспользуемся форму­лами тригонометрии:

Найдем cosα и sinα и подставим в (2).

У нас получилось уравнение

A 1 + C 1 + D 1 x 1 + E 1 y 1 + F 1 = 0. (2)

Кривые и поверхности 2-го порядка

КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВСЕХ ФАКУЛЬТЕТОВ

КУРСА 1 СЕМЕСТРА на 2012/2013 уч. год

Кроме специальностей факультетов: ФН2, ГУИМЦ, ИУ9, РК-6, АКФ-3, Юр

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Литература

Основная литература (ОЛ)

1. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. – М., Изд. МГТУ, 1998. – 392 с.

2. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1993. – 478 с.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2003. – 240 с.

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2003. – 296 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1 – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 416 с.

Дополнительная литература (ДЛ)

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1987. – 336 с.

2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – Спб.: Профессия, 2001. – 240 с.

3. Беклемишева Л.А., Петрович Ю.А., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Наука, 1987. – 496 с.

Методические пособия, изданные в МГТУ (МП)

1. Пелевина А.Ф., Зорина И.Г. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 46 с.

2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия / Под ред. В.Ф. Панова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1989.

3. Галкин С.В. Матрицы и определители, решение систем. – М.: МВТУ, 1988. – 45 с.

4. Сборник задач по линейной алгебре / Под ред. С.К. Соболева. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 1991. – 154 с.

5. Дубограй И.В., Леванков В.И., Максимова Е.В. Методические указания к выполнению домашнего задания по теме “Кривые второго порядка”. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 2002. – 52 с.

6. Бархатова О.А., Садыхов Г.С. Поверхности второго порядка. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 2005. – 40 с.

7. Агеев О.Н., Гласко А.В., Покровский И.Л. Матрицы и определители. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 2004.

8. Гласко А.В., Покровский И.Л., Станцо В.В. Системы линейных алгебраических уравнений. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 2004. – 61 с.

9. Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Мет. Указ. К решению задач (PDF). – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010: http://wwwcdl.bmstu.ru/fn1.

Читайте также  Мой речевой портрет

Лекции

Модуль 1

Векторная алгебра

Лекция 1. Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора (направленного отрезка). Нуль-вектор, единичный вектор (орт). Коллинеарные и компланарные векторы. Равенство векторов. Связанные, скользящие, свободные векторы. Линейные операции над векторами, свойства этих операций. Ортогональная проекция векторов на направление. Теоремы о проекциях (доказать самостоятельно).

ОЛ-1, пп. 1.1–1.4; ОЛ-3, гл.2 §1, гл.1 §2 п.1.

Лекция 2. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость векторов. Критерий линейной зависимости двух и трех векторов, линейная зависимость четырех векторов (доказать самостоятельно). Векторные пространства V1, V2, V3 и базисы в них. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами. Ортонормированный базис. Скалярное произведение векторов, его механический смысл. Вычисление скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе. Вычисление длины вектора, косинуса угла между векторами и проекции вектора на направление. Координаты вектора в ортонормированном базисе как проекции этого вектора на направление базисных векторов. Направляющие косинусы вектора.

ОЛ-1, пп. 1.5–1.7, 2.2; ОЛ-3, гл. 2, §§1–2, гл. 1, §1, п. 3.

Лекция 3. Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения (без док-ва). Вычисление векторного произведения в координатной форме в ортонормированном базисе. Смешанное произведение трех векторов и его геометрический смысл. Объем тетраэдра. Свойства смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения в ортонормированном базисе. Условие компланарности трех векторов.

ОЛ-1, пп. 2.3–2.5; ОЛ-3, гл. 2, §3.

Прямые и плоскости

Лекция 4. Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Радиус-вектор точки, координаты точки; связь координат вектора с координатами его начала и конца. Простейшие задачи аналитической геометрии: вычисление длины отрезка, деление отрезка в данном отношении. Геометрический смысл уравнения на плоскости и в пространстве. Различные виды уравнения прямой на плоскости: общее уравнение, параметрические уравнения, каноническое уравнение, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой “в отрезках”. Нормальный и направляющий векторы прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Вычисление угла между прямыми.

ОЛ-1, пп. 3.1–3.5, 4.1–4.3; ОЛ-3, гл. 2, §1 п. 9, гл. 4 §1, гл. 5, §1.

Лекция 5. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Различные виды уравнения плоскости в пространстве: общее уравнение плоскости; уравнение плоскости, проходящей через три точки; уравнение плоскости “в отрезках”. *Связка плоскостей. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями. Нормальное уравнение плоскости Расстояние от точки до плоскости.

ОЛ-1, пп. 4.4, 5.1; ОЛ-3, гл. 5, §1, п. 7, §3.

Лекция 6. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой; векторное уравнение прямой; канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, угол между прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми.

ОЛ-1, пп. 5.3–5.5; ОЛ-3, гл. 5, §4.

Модуль 2

Кривые и поверхности 2-го порядка

Лекции 7–8. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Вывод их канонических уравнений. Исследование формы кривых второго порядка. Параметры кривых второго порядка (полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет). Оптическое свойство (без док-ва). Смещенные кривые второго порядка. Исследование неполного уравнения кривой второго порядка.

ОЛ-1, гл. 11; ОЛ-3, гл. 6, §1–3.

Лекция 9. Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения. Эллипсоид. Конус. Гиперболоиды. Параболоиды. Их канонические уравнения. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.

Реферат на тему «Кривые и поверхности второго порядка»

Отзывы на автора Мирослава

выполнено в срок! спасибо

Работа выполнена в полном объеме, спасибо.

Неплохая работа, преподаватель должен принять без притензий.

Напишем.ру — биржа помощи студентам!

95 000 экспертов

На твой заказ откликнуться несколько исполнителей, и ты сам сможешь выбрать с кем работать.

Система аукциона надежно защищает от переплат. Эксперт оценивает задание, а ты выбираешь стоимость.

Предоплата от 25%

Можно не вносить всю сумму сразу. Заказ пойдет в работу сразу после предоплаты.

Наши эксперты работаю с любыми системами проверки уникальности. Просто укажите в задании какая система нужна.

Эксперт не получает оплату пока не вышлет готовое задание. Даём гарантий период на каждый заказ, заключаем договор. Всегда на связи и всегда готовы помочь.

Псс. где-то на этой странице спрятан код на скидку .

  • от 2 дней
  • в среднем 1970 р.
  • уникальность 70%

Код скидки на 10% secret10 введите перед оплатой

  • от 1 дня
  • в среднем 500 р.
  • уникальность 50%

Код скидки на 5% secret5 введите перед оплатой

  • от 1 дня
  • в среднем 535 р.
  • уникальность 50%

Код скидки на 7% secret7 введите перед оплатой

  • от 5 дней
  • в среднем 7000 р.
  • уникальность 70%

Код скидки на 11% secret11 введите перед оплатой

  • от 1 дня
  • в среднем 700 р.
  • уникальность 90%

Код скидки на 7% secret7 введите перед оплатой

Отчет по практике

  • от 1 дня
  • в среднем 700 р.
  • уникальность 70%

Код скидки на 11% secret11 введите перед оплатой

  • от 1 дня
  • в среднем 700 р.
  • уникальность до 100%

Код скидки на 10% secret10 введите перед оплатой

  • от 1 дня
  • в среднем 700 р.

Код скидки на 5% secret5 введите перед оплатой

Другие работы по этому предмету

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы

Какова стоимость написания работы?

Стоимость выполнения заказа напрямую зависит от таких факторов, как отрасль науки, тема, срочность, наличие исходных материалов и готовых глав. На размер цены влияет также опыт исполнителя. Новички обычно указывают в заявке более низкую сумму, чем имеющие опыт авторы.

За какой период выполняется заказ?

Средний срок написания работы составляет 3 суток с момента подачи заявки. Если речь идет о сложных темах, требующих проработки огромного количества материала, то период увеличивается. Узнать о возможных сроках можно, ознакомившись с откликами авторов, которые они присылают после публикации заказа.

Нужно ли вносить аванс при подаче заказа?

Да, такая необходимость существует. Объем предоплаты напрямую зависит от желания исполнителя. В отклике он может указать 25, 50 или 100% от общей стоимости. Средства являются своеобразной гарантией выполнения сторонами условий соглашения. Деньги не сразу попадают на счет автора, а блокируются на счету биржи. Автор может воспользоваться средствами только после полного завершения заказа.

Как оплачивают заказы?

Биржа предоставляет клиентам возможность оплатить услуги разными способами. Это может быть Qiwi, Яндекс.Деньги, банковские карты, Халва и другие варианты. Детальную информацию можно получить в личном кабинете или у менеджеров компании.

Есть ли возможность вернуть материалы на доработку, и нужно ли за это платить?

Вернуть заказ на доработку можно в период согласования его с клиентом. Этот срок варьируется от 10 до 30 дней и напрямую зависит от типа работы.

Какие существуют гарантии для клиентов?

Читайте также  Кривошипно-шатунный механизм двигателя Камаза 740-10

Интересы клиента защищены договором оферты. С его содержанием можно ознакомиться на сайте.

Кривые и поверхности второго порядка

Кривые второго порядка – это геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором как минимум один из коэффициентов не равен нулю.

Считается, что первым занялся изучением кривых второго порядка один из учеников Платона. Основываясь на траекториях отражения света, очертаниях растений и других природных явлениях, он предположил, что если взять две прямые, пересекающихся между собой, и начать вращать их вокруг угла ими же образованного, то получиться косинусовидная поверхность, которая при пересечении другой плоскостью станет образовывать сечение в виде различных геометрических фигур: эллипс, окружность, парабола, гипербола и др.

Потребовалось большое количество времени, прежде чем люди начали применять эти знания на практике.

Использование этих теорий началось примерно в XVII веке, когда люди усиленно изучали астрономию и выяснили, что планеты движутся по так называемым эллиптическим траекториям. А глобальное изучение кривых началось после выхода знаменитой книги Р. Декарта «Геометрия», в которой были опубликованы основы метода координат.

Открытие метода координат имело особо важное значение не только в математике, но и в физике, механике, астрономии, оптике и других дисциплинах.

Способы образования кривых

1. Кривая как линия пересечения данной поверхности плоскостью, положение которой определено. Этот способ изучался греческими математиками, которые определяли кривые второго порядка как сечение конуса.

2. Кривая как геометрическое место точек, обладающих данным свойством. Самый распространённый способ. При этом способе кривая рассматривается как геометрическое место точек, сохраняющее отношение расстояний от данной точки до прямой.

3. Кривая определяется как траектория точки, характер движения которой обусловлен тем или иным образом. В данном способе кривая имеет траекторию точки, движущейся одновременно в двух направлениях. Одно направление по прямой, другое по окружности.

4. Образование линий по способу сопряжения проективно соответствующих элементов. Этот способ рассматривают в курсе проективной геометрии, так как он является одним из последних. В его основе лежит идея соответствия проективных пучков или прямых.

Существуют два вида кривых второго порядка: невырожденные и вырожденные.

К невырожденным и относятся: эллипс, гипербола, парабола.

Как мы уже выяснили, кривой второго порядка является линия, определяющаяся уравнением:

где A, B, C, D, E, F – действительные числа.

В зависимости от числовых значений A, B, C – получают различные виды кривых.

Уравнения геометрических фигур:

1. Каноническое уравнение окружности:

В случае, когда центр окружности совпадает с началом координат, уравнение имеет вид:

2. Каноническое уравнение эллипса:

.

Если центр эллипса находится в какой-либо точке , то для этого условия существует формула:

+ .

3. Каноническое уравнение гиперболы:

.

4. Каноническое уравнение параболы:

.

При этом число p>0 (расстояние от фокуса до директрисы)- фокальный параметр.

Задачи в аналитической геометрии решаются с помощью кривых второго порядка.

Установить вид кривой

.

Решение: Данное уравнение может описывать гиперболу. Выделим полные квадраты по переменным x,y. Для переменной x получаем квадрат суммы, для переменной y – квадрат разности

;

;

;

;

;

.

Это уравнение описывает гиперболу, центр симметрии которой находится в точке Докажем это, введя обозначения Уравнения новых координатных осей имеют вид

.

Относительно старой системы координат новые оси записываются уравнениями:

; .

В новой системе координат заданное уравнение принимает канонический вид:

Это уравнение описывает гиперболу. Для более точного построения искомого графика найдем точки пересечения графика заданной гиперболы с координатными осями старой системы координат Точки пересечения графика гиперболы с осью

=>

Точки пересечения графика гиперболы с осью

=>

.

Всё, что нужно для построения графика найдено.

Кривые второго порядка играют особую роль в геометрии. На них основываются знаменитые Теорема Паскаля и Теорема Брианшона.

В современном мире кривые второго порядка также используют в профессии закройщика. Конструирование одежды основывается на построении кривых и определении положения точек на дугах.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: