Колебания и волны - OXFORDST.RU

Колебания и волны

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. Колебаниями называются процессы, при которых движения или состояния системы регулярно повторяются во времени. Наиболее наглядно демонстрирует колебательный процесс качающийся маятник, но колебания свойственны практически всем явлениям природы. Колебательные процессы характеризуются следующими физическими величинами.

Период колебаний Т – промежуток времени, через который состояние системы принимают одинаковые значения: u(t + T) = u(t).

Частота колебаний n или f – число колебаний в 1 секунду, величина, обратная периоду: n = 1/Т. Измеряется в герцах (Гц), имеет размерность с –1 . Маятник, совершающий одно качание в секунду, колеблется с частотой 1 Гц. В расчетах нередко используют круговую, или цикличную частоту w = 2 pn .

Фаза колебаний j – величина, показывающая, какая часть колебания прошла с начала процесса. Измеряется в угловых величинах – градусах или радианах.

Амплитуда колебаний А – максимальное значение, которое принимает колебательная система, «размах» колебания.

Периодические колебания могут иметь самую разную форму, но наибольший интерес представляют так называемые гармонические, или синусоидальные колебания. Математически они записываются в виде

u(t) = A sin j = A sin( w t + j 0),

где A – амплитуда, j – фаза, j 0 – ее начальное значение, w – круговая частота, t – аргумент функции, текущее время. В случае строго гармонического, незатухающего колебания, величины А, w и j 0 не зависят от t.

Любое периодическое колебание самой сложной формы может быть представлено в виде суммы конечного числа гармонических колебаний, а непериодическое (например, импульс) – бесконечным их количеством (теорема Фурье).

Система, выведенная из равновесия и предоставленная сама себе, совершает свободные, или собственные колебания, частота которых определяется физическими параметрами системы. Собственные колебания также могут быть представлены в виде суммы гармонических, так называемых нормальных колебаний, или мод.

Возбуждение колебаний может происходить тремя путями. Если на систему действует периодическая сила, меняющаяся с частотой f (маятник раскачивают периодическими толчками), система будет колебаться с этой – вынужденной – частотой. Когда частота вынуждающей силы f равна или кратна частоте собственных колебаний системы n , возникает резонанс – резкое возрастание амплитуды колебаний.

Если параметры системы (например, длину подвеса маятника) периодически изменяют, происходит параметрическое возбуждение колебаний. Оно наиболее эффективно, когда частота изменения параметра системы равна ее удвоенной собственной частоте: fпар = 2 n соб.

Если колебательные движения возникают самопроизвольно (система «самовозбуждается»), говорят о возникновении автоколебаний, имеющих сложный характер.

Во время колебательных процессов происходит периодическое превращение потенциальной энергии системы в кинетическую. Например, отклонив маятник в сторону и, следовательно, подняв его на высоту h, ему сообщают потенциальную энергию mgh. Она полностью переходит в кинетическую энергию движения mv 2 /2, когда груз проходит положение равновесия и скорость его максимальна. Если при этом происходит потеря энергии, колебания становятся затухающими.

В физике отдельно рассматриваются колебания механические и электромагнитные – связанные колебания электрического и магнитного поля (свет, рентгеновское излучение, радио). В пространстве они распространяются в форме волн.

Волной называется возмущение (изменение состояния среды), которое распространяется в пространстве и несет энергию, не перенося вещества. Наиболее часто встречаются упругие волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны. Упругие волны могут возбуждаться только в среде (газе, жидкости, твердом теле), а электромагнитные волны распространяются и в вакууме.

Если возмущение волны направлено перпендикулярно направлению ее распространения, волна называется поперечной, если параллельно – продольной. К поперечным относятся волны, бегущие по поверхности воды и вдоль струны, а также электромагнитные волны – векторы напряженности электрического и магнитного полей перпендикулярны вектору скорости волны. Типичный пример продольной волны – звук.

Уравнение, описывающее волну, можно вывести из выражения для гармонических колебаний. Пусть в какой-то точке среды происходит периодическое движение по закону А = A sin w t. Это движение будет передаваться от слоя к слою – по среде побежит упругая волна. Точка, находящаяся на расстоянии x от точки возбуждения, станет совершать колебательные движения, отставая на время t, необходимое для прохождения волной расстояния х: t = x/c, где c – скорость волны. Поэтому законом ее движения будет

Ax = A sin w (tx/c),

или, так как w = 2 p /T, где T — период колебаний,

Ax = A sin 2 p (t/Tx/cT).

Это – уравнение синусоидальной, или монохроматической волны, распространяющейся со скоростью с в направлении х. Все точки волны в момент времени t имеют разные смещения. Но ряд точек, отстоящих на расстояние cT одна от другой, в любой момент времени смещены одинаково (т.к. аргументы синусов в уравнении отличаются на 2 p и, следовательно, их значения равны). Это расстояние и есть длина волны l = сТ. Она равна пути, который проходит волна за один период колебания.

Фазы колебаний двух точек волны, находящихся на расстоянии D х одна от другой, отличаются на Dj = 2 p D х/ l , и, следовательно, на 2 p при расстоянии, кратном длине волны. Поверхность, во всех точках которой волна имеет одинаковые фазы, называется волновым фронтом. Распространение волны происходит перпендикулярно ему, поэтому оно может рассматриваться как движение волнового фронта в среде. Точки волнового фронта формально считают фиктивными источниками вторичных сферических волн, при сложении дающих волну исходной формы (принцип Гюйгенса-Френеля).

Скорость смещения элементов среды меняется по тому же закону, что и само смещение, но со сдвигом по фазе на p /2: скорость достигает максимума, когда смещение падает до нуля. То есть волна скоростей сдвинута относительно волны смещений (деформаций среды) по времени на Т/4, а в пространстве на l /4. Волна скоростей несет кинетическую энергию, а волна деформаций – потенциальную. Энергия все время переносится в направлении распространения волны +х со скоростью с.

Введенная выше скорость с отвечает распространению только бесконечной синусоидальной (монохроматической) волны. Она определяет скорость перемещения ее фазы j и называется фазовой скоростью сф. Но на практике гораздо чаще встречаются как волны более сложной формы, так и волны, ограниченные во времени (цуги), а также совместное распространение большого набора волн разной частоты (например, белый свет). Подобно сложным колебаниям, волновые цуги и негармонические волны могут быть представлены в виде суммы (суперпозиции) синусоидальных волн разных частот. Когда фазовые скорости всех этих волн одинаковы, то вся их группа (волновой пакет) движется с одной скоростью. Если же фазовая скорость волны зависит от ее частоты w , наблюдается дисперсия – волны различных частот идут с разной скоростью. Нормальная, или отрицательная дисперсия тем больше, чем выше частота волны. За счет дисперсии, например, луч белого света в призме разлагается в спектр, в каплях воды – в радугу. Волновой пакет, который можно представить как набор гармонических волн, лежащих в диапазоне w 0 ± Dw , из-за дисперсии расплывается. Его форма – огибающая амплитуд компонент цуга – искажается, но перемещается в пространстве со скоростью vгр, называемой групповой скоростью. Если при распространении волнового пакета максимумы волн, его составляющих, движутся быстрее огибающей, фазовая скорость сигнала выше групповой: сф > vгр. При этом в хвостовой части пакета за счет сложения волн возникают все новые максимумы, которые передвигаются вперед и пропадают в его головной части. Примером нормальной дисперсии служат среды, прозрачные для света – стекла и жидкости.

В ряде случаев наблюдается также аномальная (положительная) дисперсия среды, при которой групповая скорость превышает фазовую: vгр > сф, причем возможна ситуация, когда эти скорости направлены в противоположные стороны. Максимумы волн появляются в головной части пакета, перемещаются назад и исчезают в его хвосте. Аномальная дисперсия наблюдается, например, при движении очень мелких (так называемых капиллярных) волн на воде (vгр = 2сф).

Читайте также  Конфликт в Македонии 2001

Все методы измерения времени и скорости распространения волн, базирующиеся на запаздывании сигналов, дают групповую скорость. Именно ее учитывают при лазерной, гидро- и радиолокации, зондировании атмосферы, в системах радиоуправления и т.п.

При распространении волн в среде происходит их поглощение – необратимый переход энергии волны в другие ее виды (в частности – в теплоту). Механизм поглощения волн разной природы различен, но поглощение в любом случае приводит к ослаблению амплитуды волны по экспоненциальному закону: А1/А = е a , где a – так называемый логарифмический декремент затухания. Для звуковых волн, как правило, a

w 2: высокие звуки поглощаются значительно сильнее низких. Поглощение света – падение его интенсивности I – происходит по закону Бугера I = Iexp(–k l l), где exp(x) = e x , k l – показатель поглощения колебания с длиной волны l , l – путь, пройденный волной в среде.

Рассеяние звука на препятствиях и неоднородностях среды приводит к расплыванию звукового пучка и, как следствие, – к затуханию звука по мере его распространения. При размере неоднородности L l /2 рассеяние волны отсутствует. Рассеяние света происходит по сложным законам и зависит не только от размера препятствий, но и от их физических характеристик. В природных условиях наиболее сильно проявляется рассеяние на атомах и молекулах, происходящее пропорционально w 4 или, что то же самое, l -4 (закон Рэлея). Именно рэлеевским рассеянием обусловлен голубой цвет неба и красный – Солнца на закате. Когда размер частиц становится сравним с длиной волны света (r

l ), рассеяние перестает зависеть от длины волны, свет рассеивается больше вперед, нежели назад. Рассеяние на крупных частицах (r >> l ) происходит с учетом законов оптики – отражения и преломления света.

При сложении волн, разность фаз которых постоянна (см. КОГЕРЕНТНОСТЬ) возникает устойчивая картина интенсивности суммарных колебаний – интерференция. Отражение волны от стенки равносильно сложению двух волн, идущих навстречу одна другой с разностью фаз p . Их суперпозиция создает стоячую волну, в которой через каждую половину периода Т/2 лежат неподвижные точки (узлы), а между ними – точки, колеблющиеся с максимальной амплитудой А (пучности).

Волна, падающая на препятствие или проходящая сквозь отверстие, огибает их края и заходит в область тени, давая картину в виде системы полос. Это явление называется дифракцией; оно становится заметным, когда размер препятствия (диаметр отверстия) D сравним с длиной волны: D

В поперечной волне может наблюдаться явление поляризации, при котором возмущение (смещение в упругой волне, векторы напряженности электрического и магнитного полей в электромагнитной) лежит в одной плоскости (линейная поляризация) или вращается (круговая поляризация), меняя при этом интенсивность (эллиптическая поляризация).

При движении источника волн навстречу наблюдателю (или, что то же самое – наблюдателя навстречу источнику) наблюдается повышение частоты f, при удалении – понижение (эффект Доплера). Это явление можно наблюдать возле железнодорожного пути, когда мимо проносится локомотив с сиреной. В тот момент, когда он оказывается рядом с наблюдателем, происходит заметное понижение тона гудка. Математически эффект записывается как f = f/(1 ± v/c), где f – наблюдаемая частота, f – частота излучаемой волны, v – относительная скорость источника, c – скорость волны. Знак «+» соответствует приближению источника, знак «–» – его удалению.

Несмотря на принципиально разную природу волн, законы, определяющие их распространение, имеют много общего. Так, упругие волны в жидкостях или газах и электромагнитные волны в однородном пространстве, излученные малым источником, описываются одним и тем же уравнением, а волны на воде, подобно свету и радиоволнам, испытывают интерференцию и дифракцию.

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Колебания и волны

Колебательное движение

Особый вид неравномерного движения — колебательное. Это движение, которое повторяется с течением времени. Механические колебания — это движения, которые повторяются через определенные промежутки времени. Если промежутки времени одинаковые, то такие колебания называются периодическими.

Колебательная система

Это система взаимодействующих тел (минимум два тела), которые способны совершать колебания. Простейшими колебательными системами являются маятники.

Характеристика колебаний

Фаза определяет состояние системы, а именно координату, скорость, ускорение, энергию и др.

Циклическая частота характеризует скорость изменения фазы колебаний.

Начальное состояние колебательной системы характеризует начальная фаза

Амплитуда колебаний A — это наибольшее смещение из положения равновесия

Период T — это промежуток времени, в течение которого точка выполняет одно полное колебание.

Частота колебаний — это число полных колебаний в единицу времени t.

Частота, циклическая частота и период колебаний соотносятся как

Виды колебаний

Колебания, которые происходят в замкнутых системах называются свободными или собственными колебаниями. Колебания, которые происходят под действием внешних сил, называют вынужденными. Встречаются также автоколебания (вынуждаются автоматически).

Если рассматривать колебания согласно изменяющихся характеристик (амплитуда, частота, период и др.), то их можно разделить на гармонические, затухающие, нарастающие (а также пилообразные, прямоугольные, сложные).

При свободных колебаниях в реальных системах всегда происходят потери энергии. Механическая энергия расходуется, например, на совершение работы по преодолению сил сопротивления воздуха. Под влиянием силы трения происходит уменьшение амплитуды колебаний, и через некоторое время колебания прекращаются. Очевидно, что чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания являются незатухающими. Поэтому необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Для этого необходимо воздействовать на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте изменения внешней силы.

Амплитуда вынужденных механических колебаний достигает наибольшего значения в том случае, если частота вынуждающей силы совпадает с частотой колебательной системы. Это явление называется резонансом.

Например, если периодически дергать шнур в такт его собственным колебаниям, то мы заметим увеличение амплитуды его колебаний.

Примеры резонанса

Если влажный палец двигать по краю бокала, то бокал будет издавать звенящие звуки. Хотя это и незаметно, палец движется прерывисто и передает стеклу энергию короткими порциями, заставляя бокал вибрировать

Стенки бокала также начинают вибрировать, если на него направить звуковую волну с частотой, равной его собственной. Если амплитуда станет очень большой, то бокал может даже разбиться. По причине резонанса при пении Ф.И.Шаляпина дрожали (резонировали) хрустальные подвески люстр. Возникновение резонанса можно проследить и в ванной комнате. Если вы будете негромко пропевать звуки разной частоты, то на одной из частот возникнет резонанс.

В музыкальных инструментах роль резонаторов выполняют части их корпусов. Человек также имеет собственный резонатор — это полость рта, усиливающая издаваемые звуки.

Явление резонанса необходимо учитывать на практике. В одних явлениях он может быть полезен, в других — вреден. Резонансные явления могут вызывать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах. Так, в 1905 году рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил конный эскадрон, а в 1940 — разрушился Такомский мост в США.

Явление резонанса используется, когда с помощью небольшой силы необходимо получить большое увеличение амплитуды колебаний. Например, тяжелый язык большого колокола можно раскачать, действуя сравнительно небольшой силой с частотой, равной собственной частоте колебаний колокола.

Колебания и волны

При изучении темы «Колебания и волны» необходимо на примерах показать, что колебательные движения и волновые процессы очень часто встречаются в окружающей нас природе и технике: колебания маятника, колебания струн в музыкальных инструментах, колебания заряда, напряжения, тока в колебательном контуре, звук, свет, волновые свойства частиц, движение периодически работающих машин и т.д.

Читайте также  Военнослужащие и взаимоотношения между ними

Необходимо подчеркнуть, что, несмотря на различную природу этих явлений, при их описании применяются общие математические методы. Из-за недостаточной математической подготовки учеников изучение механических колебаний и волн осуществляется в упрощенном варианте. Более глубоко колебательные и волновые процессы изучаются в «Электродинамике» и «Оптике». Для учащихся физико-математических школ рекомендуется в теме «Колебания и волны» рассмотреть параллельно и механические и электромагнитные колебания, используя производные и дифференциальные уравнения. Это позволит показать общность математических уравнений, провести сопоставления и аналогии. Рекомендуется такой подход использовать в старших классах.

При рассмотрении гармонических колебаний необходимо пояснить, что особое внимание, уделяемое в физике и технике этому виду движения, обусловлено тем, что, во-первых, существует громадное число физических систем, совершающих с очень большой степенью точности гармонические колебания, и, во-вторых, периодическое негармоническое движение можно свести к сумме гармонических движений, причем эти составные части можно наблюдать при помощи современной аппаратуры. Кроме того, существует аппаратура, позволяющая складывать гармонические движения и получать периодические движения сложного характера.

Записав уравнение гармонических колебаний в виде , дайте определение амплитуды, фазы, начальной фазы. Особенно подробно остановитесь на понятии фазы. Покажите, что начальная фаза определяет смещение системы в момент . Если начало отсчета времени произвольно, то удобно выбирать его так, чтобы в момент смещение было максимальным или равным нулю, при этом будет равно нулю или . Соответственно получим или .

Поясните, что свойства косинусоидального и синусоидального движения совершенно одинаковы, отличие только в том, в какой момент начали отсчет времени.

Большие возможности при решении задач по данной теме дают графические методы представления гармонических колебаний, не требующие сложного математического аппарата. Покажите, как построить графики («плоские диаграммы»), когда по горизонтальной оси откладывается время, а по вертикальной оси смещение, скорость и ускорение. Проанализируйте, чем отличаются графики смещений, скоростей и ускорений. Можно продемонстрировать такие диаграммы для электрических процессов на осциллографе. Однако могут возникнуть затруднения при объяснении, если ученики не знакомы с работой осциллографа.

Очень хорошо познакомить учеников с методом векторных диаграмм, с помощью которого легко решать задачи на суммирование нескольких колебаний одинаковой частоты. На рис. 11 изображены векторы смещения, скорости, ускорения для гармонических колебаний .

Для качественного анализа движений (и не только гармонических) можно использовать метод фазовых диаграмм. Метод заключается в следующем. На плоскости, которая называется фазовой, выбирают прямоугольную систему координат. По оси абсцисс откладывают смещение х, по оси ординат — скорость . Состояние движения в каждый момент времени характеризуется точкой с координатами x, . С течением времени эта точка описывает на плоскости кривую , называемую фазовой траекторией. Для периодического движения фазовая траектория — замкнутая кривая. Для гармонического движения в системе координат фазовая траектория представляет окружность. Изображающая точка равномерно движется по окружности по часовой стрелке (рис. 12).

При гармонических колебаниях тело движется с ускорением. Это ускорение сообщается силой, пропорциональной смещению. Подчеркните, что эта сила всегда направлена к положению равновесия. В качестве примера можно рассмотреть колебание материальной точки массой m, прикрепленной к концу невесомой пружины, под действием упругой силы . Эта сила возникает при небольших деформациях. Если сила пропорциональна смещению, но не является упругой по своей природе (например, составляющая силы тяжести, заставляющая колебаться маятник), то ее называют квазиупругой.

При рассмотрении вопроса об энергии гармонических колебаний необходимо обратить внимание учащихся на следующее:

  1. Работа квазиупругой силы за период равна нулю. Физический смысл этого результата заключается в следующем: работа квазиупругой силы положительна при ускоренном движении к положению равновесия и отрицательна при замедленном движении от положения равновесия. В силу симметрии движения работы, совершаемые в равные промежутки времени, должны быть равными по величине. Знак работы изменяется каждые четверть периода.
  2. Период колебаний кинетической и потенциальной энергии в два раза меньше периода самого движения. При этом в момент обращения кинетической энергии в ноль потенциальная энергия максимальна, и наоборот.
  3. Полная энергия системы пропорциональна квадрату амплитуды и частоте и сохраняется во время движения.

Затухающие и вынужденные колебания можно рассмотреть на качественном уровне. Пояснить, что в реальных условиях нельзя пренебрегать силами трения. Так как при трении энергия системы будет расходоваться на работу против сил трения и переходить в тепловую энергию окружающей среды и самой системы, то амплитуда колебаний со временем будет убывать. С другой стороны, трение тормозит систему, а потому следует ожидать и некоторого уменьшения частоты колебаний. Затухающие колебания следует показать на опытах, например, на опыте с песочным маятником. Учет сил трения изменяет уравнение колебаний. Однако решение его не будет столь простым, как в случае свободных колебаний, поэтому зависимость смещения от времени при затухающих колебаниях можно записать, не решая уравнение.

В случае вынужденных колебаний можно ограничиться графическим описанием зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы и демонстрацией экспериментов. Необходимо остановиться на понятии резонанса колебаний, при этом подчеркните, что максимальная амплитуда колебаний достигается при частоте, называемой резонансной, которая близка к частоте вынуждающей силы, но не равна ей. Решение задач поможет лучшему усвоению этой темы.

Волны представляют процесс распространения колебаний. Обратите внимание учеников на тот факт, что колебания распространяются с конечной скоростью, поэтому в точку, отстоящую от источника колебаний на расстоянии z, колебания приходят с некоторым запаздыванием по времени. Если волна возбуждается гармоническим источником, то она называется монохроматической и ее уравнение имеет вид:

Волна распространяется в среде, частицы которой связаны между собой некоторыми силами. Каждая из колеблющихся частиц испытывает влияние сил, стремящихся вернуть их в первоначальное положение. Поэтому важно подчеркнуть, что сами частицы не совершают перемещение в направлении распространения волны, а колеблются около своих положений равновесия. Волновой процесс, как и колебательный, может быть описан в общем виде математически и применим ко многим системам.

Поясните, что основные свойства волн можно изучить на простых примерах и сформулировать общие положения, которые будут справедливы для волн любого типа: звуковых, упругих, электромагнитных, волн, описывающих состояние микрочастиц, и т.д. Волны переносят энергию, оказывают давление, обладают импульсом.

Поясните, что волны подчиняются принципу суперпозиции. В качестве примера рассмотрите стоячие волны. Следует указать на то, что распределение энергии в стоячей волне представляет интерференционный эффект.

Механические колебания и волны

Виды механических колебаний

Колебания – это процесс изменений некоторого параметра системы вокруг состояния равновесия. Механические колебания представляют собой, как правило, перемещение в пространстве различных точек системы. Примерами механических колебаний являются движение маятника, качелей, листьев на ветру, и многое другое.

Рис. 1. Механические колебания в природе.

Разные точки колеблющейся системы могут перемещаться синхронно (колебания поршня в двигателе), а могут «вразнобой» (колебания флага на ветру).

Механические колебания, как и любые другие могут быть свободными, а могут быть вынужденными. Свободные колебания – это колебания, совершаемые под действием внутренних сил системы (пружинный маятник), вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней силы (поршень в двигателе).

Если к системе не подводится внешней энергии, а в системе имеются потери (например, на трение), то колебания в такой системе будут затухающими.

Механические волны

Во многих случаях отдельные точки системы, хотя и совершают периодические колебания одинаковой амплитуды и частоты, делают это несинхронно. В первый момент воздействия на систему, из положения равновесия выходят только некоторые точки. Эти точки влияют на соседние, соседние точки тоже начинают выходить из положения равновесия, но делают это с некоторой временной задержкой. В свою очередь эти точки выводят из положения равновесия более далекие точки. В результате к тому времени, как первая точка начнет возвращаться к положению равновесия, другие точки системы будут все еще увеличивать отклонение. Причем, чем дальше точка будет находиться от первоначальной, тем больше будет ее запаздывание.

Читайте также  Выбор жизненного пути мини-сочинение

Таким образом, в системе возникает распространяющийся колебательный процесс, называемый волной. Примерами механических колебаний и волн могут быть волны на поверхности воды, звуковые волны и т. д.

Рис. 2. Распространение механических волн.

Гармонические колебания и волны

При изучении колебаний можно убедиться, что большинство из них совершаются по простому закону круговых математических функций – синуса или косинуса. Такие колебания называются гармоническими. В математике доказывается, что любые колебания можно представить бесконечной суммой гармонических составляющих. Поэтому в первую очередь изучаются именно они.

Формула механических колебаний и волн представляет собой следующее соотношение:

  • $X$ – координата колеблющейся точки в момент времени $t$.
  • $А$ – амплитуда колебаний, максимальное отклонение точки в процессе колебания.
  • $omega$ – частота колебаний, «скорость», с которой они совершаются.
  • $phi$ – начальная фаза колебаний, начальное положение точки в момент времени $t=0$

Время, за которое совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний $T$:

Распространение колебаний в виде волн происходит с конечной скоростью $v$. А значит, точки с одинаковой фазой (с одинаковым отклонением от равновесия), будут находиться на некотором расстоянии друг от друга, называемым длиной волны $lambda$:

Рис. 3. График частота период фаза длина волны.

Механические волны – это чаще всего звуковые колебания. Скорость звука в различных средах меняется от десятков метров в секунду (в разреженных газах при низкой температуре) до километров в секунду (в высокоупругих средах, например в металлах) .

Что мы узнали?

Механические колебания представляют собой периодические перемещения в пространстве различных точек системы вокруг точки равновесия. Если такие перемещения распространяются со временем от одной точки системы к другим – то в системе возникает механическая волна.

Колебания и волны

Основные положения:

Колебательное движение – движение, точно или приблизительно повторяющееся через одинаковые промежутки времени.

Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса, являются гармоническими.

Периодом колебаний Т называется наименьший промежуток времени, по истечение которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение. За этот промежуток времени совершается одно полное колебание.

Частотой периодических колебаний называется число полных колебаний, которые совершаются за единицу времени. .

Циклической (круговой) частотой колебаний называется число полных колебаний, которые совершаются за 2π единиц времени.

, тогда

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых колеблющаяся величина х изменяется с течением времени по закону:

,

где А, ω, φ – постоянные величины.

А > 0 – величина, равная наибольшему абсолютному значению колеблющейся величины х и называется амплитудой колебаний.

Выражение определяет значение х в данный момент времени и называется фазой колебаний.

В момент начала отсчета времени (t = 0) фаза колебаний равна начальной фазе φ0.

Математический маятник – это идеализированная система, представляющая собой материальную точку, подвешенную на тонкой, невесомой и нерастяжимой нити.

Период свободных колебаний математического маятника: .

Пружинный маятник – материальная точка, закрепленная на пружине и способная совершать колебания под действием силы упругости.

Период свободных колебаний пружинного маятника: .

Физический маятник – это твердое тело, способное вращаться вокруг горизонтальной оси под действием силы тяжести.

Период колебаний физического маятника: .

Теорема Фурье: любой реальный периодический сигнал можно представить в виде суммы гармонических колебаний с различными амплитудами и частотами. Эту сумму называют гармоническим спектром данного сигнала.

Вынужденными называют колебания, которые вызваны действием на систему внешних сил F(t), периодически изменяющихся с течением времени.

Сила F(t) называется возмущающей силой.

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени, что связано с убылью механической энергии колеблющейся системы за счет действия сил трения и других сил сопротивления.

Если частота колебаний системы совпадает с частотой возмущающей силы, то резко возрастает амплитуда колебаний системы. Это явление называется резонансом.

Распространение колебаний в среде называется волновым процессом, или волной.

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны.

Волна называетсяпродольной, если колеблющиеся частицы движутся в направлении распространения волны. Продольные волны распространяются в любой среде (твердой, жидкой, газообразной).

Распространение поперечных волн возможно только в твердых телах. В газах и жидкостях, которые не обладают упругостью формы, распространение поперечных волн невозможно.

Длиной волны называется расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе, т.е. расстояние, на которое распространяется волна за один период.

,

Скорость волны V – это скорость распространения колебаний в среде.

Период и частота волны – период и частота колебаний частиц среды.

Длина волны λ – расстояние, на которое распространяется волна за один период: .

Звук– упругая продольная волна, распространяющаяся от источника звука в среде.

Восприятие звуковых волн человеком зависит от частоты, слышимые звуки от 16 Гц до 20000Гц.

Звук в воздухе – это продольная волна.

Высота тона определяется частотой звуковых колебаний, громкость звука – его амплитудой.

Контрольные вопросы:

1. Какое движение называется гармоническим колебанием?

2. Дайте определения величин, характеризующих гармонические колебания.

3. Каков физический смысл имеет фаза колебаний?

4. Что называется математическим маятником? Каков его период?

5. Что называется физическим маятником?

6. Что такое резонанс?

7. Что называется волной? Дайте определение поперечной и продольной волны.

8. Что называется длиной волны?

9. Каков диапазон частот звуковых волн? Может ли звук распространяться в вакууме?

Выполните задания:

1. Заполните таблицу:

Величина Обозначение Единица измерения Формула
Амплитуда колебаний
Период колебаний: а) математического маятника б) пружинного маятника в) физического маятника
Циклическая частота колебаний
Фаза колебаний
Координата колеблющейся частицы
Длина волны
Скорость волны

2. Решите задачи

1. Чему равно отношение масс двух пружинных маятников , имеющих пружины одинаковой жесткости, если частота .

2. Два маятника за одинаковое время совершают один 30, а второй 40 колебаний. Какова длина каждого маятника, если разность их длин равна 7см?

3. Найти наибольшую скорость движения маятника длиной 3,6 м, отклоненного от положения равновесия на 60°.

Задания для самостоятельной работы:

1. Тело массой 20 г совершает гармонические колебания, описываемые уравнением: . Чему равны амплитуда, частота, циклическая частота, период колебаний, начальная фаза?

Построить график колебаний. Найти: максимальные значения скорости и ускорения, максимальную силу, действующую на точку, полную механическую энергию точки.

Вариант Уравнение колебаний Вариант Уравнение колебании

2. Вдоль упругого шнура распространяется поперечная волна со скоростью V. Период колебаний Т, амплитуда А. Определить длину волны, фазу и смещение х точки, отстоящей на расстоянии у от источника волн в момент времени t.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: