Геометрические преобразования графиков функции - OXFORDST.RU

Геометрические преобразования графиков функции

Статья по теме «Геометрические преобразования графика функции»

Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов

Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте

откроется в новом окне

Выдаем Удостоверение установленного образца:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Аннотация

Данная статья рассматривает геометрические преобразования функции одной переменной на плоскости, изучаемые в школьном курсе алгебры средней школы. В результате показано, что при тщательном изучении всех возможных геометрических преобразований повышается уровень развития абстрактного мышления школьников.

Ключевые слова: математика, абстрактное мышление, функции одной переменной, геометрические преобразования.

Введение

«Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира»

А. Н. Колмогоров

Данное определение, приведенное Андреем Николаевичем Колмогоровым, одним из крупнейших математиков XX века, является наиболее точным отражением сути приведенного предмета. Все понятия, изучаемые в математике,абстрактные. Таким образом, математика – единственный школьный предмет, который формирует у учеников навыки абстрактного мышления.

Каким образом? Существует много способов развития абстрактного мышления и один из них заключается в понимании связи между функцией, её графиком на плоскости и различными геометрическими преобразованиями над данной функцией.

Геометрические преобразования на плоскости

Если известен график исходной функции , то с помощью различных преобразований можно построить графики более сложных функций. Рассмотрим все существующие геометрические преобразования на примере функции , графиком которой является кубическая парабола.

Осевая симметрия

Если две точки и симметричны относительно оси ординат , то и . Эти простые соображения позволяют установить вид графика функции , если график задан.

Рассмотрим графики и и изобразим их графики в одной координатной плоскости (Рис. 1).

Необходимые условия симметрии относительно оси ординат выполнены для всех точек графиков, и действительно, графики симметричны.

Если две точки и симметричны относительно оси абсцисс , то и .

Рассмотрим графики и . Очевидно, что необходимые условия симметрии относительно оси абсцисс выполнены для всех точек графиков и, следовательно, графики симметричны (Рис. 1).

Если две точки и симметричны относительно прямой , параллельной оси абсцисс , то должны выполняться условия и .

Приходим к утверждению: графики функций и симметричны относительно прямой .

Рассмотрим графики и .

Необходимые условия симметрии относительно оси , параллельной оси абсцисс выполнены (Рис. 2):

Таким образом, графики и симметричны относительно оси.

Если две точки и симметричны относительно прямой , параллельной оси ординат , то должны выполняться условия и .

Рассмотрим графики и

Необходимые условия симметрии относительно оси , параллельной оси ординат выполнены (Рис. 3):

Таким образом, графики и симметричны относительно оси.

Параллельный перенос

Если координаты двух точек и удовлетворяют условиям и . То можно считать, что точка получена путём переноса точки вдоль прямой, параллельной оси абсцисс, на отрезок вправо, если , или влево, если .

На основании этих рассуждений, график функции есть результат переноса графика на единиц влево, если , или вправо, если .

Рассмотрим графики функций , и (Рис. 4).

Необходимые условия переноса выполнились. Таким образом, видим, что

графики и получены за счет параллельного переноса вдоль оси абсцисс влево и вправо на единицу графика , соответственно.

Если координаты двух точек и удовлетворяют условиям и . То можно считать, что точка получена путём переноса точки вдоль прямой, параллельной оси ординат, на отрезок вверх, если , или вниз, если .

На основании этих рассуждений, график функции есть результат переноса графика на единиц вверх, если , или вниз, если .

Рассмотрим графики функций , и (Рис. 5).

Рис. 5

Таким образом, видим, что графики и получены за счет параллельного переноса вдоль оси ординат вверх и вниз на единицу графика , соответственно.

Равномерное осевое сжатие или растяжение

Если координаты двух точек и удовлетворяют соотношениям и , то можно считать, что точка получена путём растяжения ординаты точки в раз, если . При точка получается в результате сжатия ординаты точки в раз.

При имеет место тождественное преобразование, то есть все точки плоскости остаются неизменными.

Таким образом, график функции можно рассмотреть как результат равномерного сжатия графика к оси абсцисс в раз при или растяжения графика от оси абсцисс в раз, если .

Рассмотрим графики функций и (Рис. 6).

Рассмотрим графики функций и (Рис. 7).

Приведенные выше графики показывают, что процесс сжатия и растяжения выполняется для рассмотренных функции.

Если координаты двух точек и удовлетворяют соотношениям и , то можно считать, что точка получена путём растяжения абсциссы точки от оси ординат в раз, если . При точка получается в результате сжатия абсциссы точки в раз.

При имеет место тождественное преобразование, то есть все точки плоскости остаются неизменными.

Таким образом, график функции можно рассмотреть как результат равномерного растяжения графика от оси ординат в раз при или сжатия графика к оси ординат в раз, если .

Рассмотрим графики функций и (Рис. 8).

Рассмотрим графики функций и (Рис. 9).

Приведенные выше графики показывают, что процесс сжатия и растяжения выполняется для рассмотренных функций.

Перейдем к следующему геометрическому преобразованию – гомотетия относительно начала координат.

Как известно, преобразование гомотетии с центром в точке и коэффициентом гомотетии можно рассматривать как произведение двух осевых сжатий с одинаковыми коэффициентами относительно взаимно перпендикулярных и пересекающихся в точке осей.

Таким образом, если графику функции принадлежит точка , а графику функции принадлежит точка , такая что и . Получим, что каждой точке графика соответствует точка графика функции , гомотетичная точке относительно начала координат, причем коэффициент гомотетии равен .

Рассмотрим гомотетию на примере графиков функций и (Рис. 10).

Пусть на координатной плоскости задана прямая , параллельная оси ординат.

График функции есть результат сжатия-растяжения графика функции к оси с коэффициентом сжатия-растяжения, равным , причем при имеет место сжатие, при – растяжение.

В качестве примера равномерного сжатия к прямой , параллельной оси ординат рассмотрим графики функций и (Рис. 11).

В качестве примера равномерного растяжения к прямой , параллельной оси ординат рассмотрим графики функций и (Рис. 12).

Теперь представим, что на координатной плоскости задана прямая , параллельная оси абсцисс и выполняется сжатие растяжение плоскости к оси с коэффициентом .

Таким образом, если график функции есть результат преобразования

сжатия-растяжения графика функции к оси , причем если , то имеет место растяжение, если – сжатие.

В качестве примера равномерного растяжения прямой к , параллельной оси абсцисс рассмотрим графики функций и (Рис. 13).

В качестве примера равномерного сжатия прямой к , параллельной оси абсцисс рассмотрим графики функций и (Рис. 14).

Заключение

Таким образом, наглядно показано, что для построения сложных функций необходимо знать элементарные функции и простейшие геометрические преобразования плоскости.

Изученная проблема является весьма актуальной, так как с каждым годом школьники все меньше и меньше уделяют внимание развитию абстрактного мышления из-за преобладания в учебниках нетворческих, шаблонных и типовых заданий. Изучая в школе все приведенные примеры функций одной переменной

и их геометрических преобразований на плоскости, учащиеся повышают свой уровень навыков пространственного мышления.

Читайте также  Международное движение факторов производства

Список литературы:

И. М. Гельфанд, Е. Г. Глагольева, Э. Э. Шноль. Функции и графики (основные приемы).– 7-е изд., стереотипное.– М.: МЦНМО, 2006. – 120 с.

И. Я. Танатар. Геометрические преобразования графиков функций.– М.: МЦНМО, 2012. – 152 с.

В. С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа.– 4-е изд.– М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. – 416 с.

Love Soft

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

  • Недавние изменения
  • Управление медиафайлами
  • Все страницы

Боковая панель

Навигация

Загрузки всякие

Связь

Содержание

Преобразование графиков

6 правил

Пусть C — число, большее нуля (C > 0).

График у = f(x) + C — получается параллельным переносом графика функции у = f(x) на C единиц вверх.

График у = f(x) — C — получается параллельным переносом графика функции у = f(x) на C единиц вниз.

График у = f(x+C) — получается параллельным переносом графика функции у = f(x) на C единиц влево.

График у = f(x-C) — получается параллельным переносом графика функции у = f(x) на C единиц вправо.

График у = -f(x) получается симметрией относительно оси абсцисс

График у = а f(x), где а>0 получается растяжением от оси абсцисс в а раз если а>1 или сжатием графика до оси абсцисс если 0

Правила преобразования графиков функций легко запоминаются, но если вы всё же не уверены в результате, проверьте его по одной-двум хорошим точкам. Эти правила, разумеется, общие для всех функций, а не только для тех, которые изучают в школе.

Подробнее

Похоже на игру в слова ВОЛК — полк — пола — поза — КОЗА.

При переходе от одной функции к другой может произойти так называемое «изменение по x» и «изменение по y».

При изменении по y новая функция полностью содержит старую.

$$f(x) = x^2; g(x) = x^2+3 = f(x)+3$$

При изменении по x новая функция не содержит старую функцию в исходном виде, а в измененном. $$f(x) = x^2; g(x) = (x+7)^2$$

Пример. Изменение в данном случае можно рассматривать и x и по y: $g(x)= (5x)^2 = 25 cdot x^2 = 25 cdot f(x)$, но только после преобразования, которое не всегда очевидно.

Изменение по x
[не естественные или внутренние]
Изменение по y
[естественные или внешние]
Сдвиг
(параллельный перенос)
Движение графика вдоль оси Ox влево и вправо
f(x — 2) — вправо на 2
f(x + 2) — влево на 2
Движение графика вдоль оси Oy вверх и вниз
f(x) — 2 — вниз на 2
f(x) + 2 — вверх на 2
Деформация
(масштабирование)
сжатие и растяжение вдоль оси Ox
f(kx), k > 0
k > 1 — сжатие
k 0
k > 1 — растяжение
k 0 — график остаётся без изменений,

Пример 8. Задан график функции $y = sqrt$. Построить график функции $y = -0.5sqrt <3x - 12>+ 2$.

Проверим результат по «удобным» точкам. Например, x1 = 4 и x2 = 16.

Примеры

задача

задача

задача

задача

Отношение двух прямых

1 случай. Прямые в числителе и знаменателе совпадают. Отношение равно 1 (константе)

2 случай. Прямые параллельны, угловые коэффициенты равны, или прямые пересекаются:

Алгебраически легко преобразовать отношение $frac $ к виду $kleft(frac a + 1right)$, что означает сдвиг и сжатие гиперболы.

Прямые как бы не хотят делиться и изгибаются, отталкиваясь друг от друга.

Произведение двух прямых это парабола — прямые объединяются, но не совпадают, ветви смотрят в одну и ту же сторону. Чем больше аргумент, тем на большее расстояние расходятся ветви и захватывают пространство.

Сумма и разность двух прямых — это прямая или 0.

Функция, обратная параболе

Речь не о корне, а о функции $frac 1 $

Рассмотрим $1/x^2$. График состоит из двух ветвей. Там где парабола возрастает, там обратная парабола убывает. Вертикальная асимптота в нуле:

По форме ветви графика похожи на ветви обычной гиперболы, но немного иначе изогнуты. Ветви обратной функции находятся в верхней полуплоскости, если ветви параболы смотрят вверх (и в нижней — если вниз).

Опустим параболу вниз, был один ноль, теперь два нуля — и следовательно, две вертикальные асимптоты. Кусочек между асимптотами также переворачивается вверх ногами. Здесь как бы 4 ветви, две из которых срослись. Чем ниже парабола, тем ближе углы к прямым:

Случай когда у параболы нет нулей, а значит, обратная функция будет иметь только одну ветвь без вертикальных асимптот (горка). Чем выше поднимается парабола, тем площе будет горка:

Верзьера Аньези

Выгодский справочник по высшей математике, параграф 506

или верзие́ра Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи) — плоская кривая, геометрическое место точек $M$, для которых выполняется соотношение $ >=>$, где $OA$ — диаметр окружности, $BC$ — полухорда этой окружности, перпендикулярная $ OA$. Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой.

В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзьерой (итал. Versiera, от лат. Versoria), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзус (обращенный синус).

В прямоугольной системе координат: $ y=>+x^<2>>>$

Кривая имеет один максимум — и две точки перегиба

Площадь под графиком $ S=pi a^<2>$ равна учетверенной площади производящего круга.

Объем тела вращения верзьеры вокруг асимптоты равен удвоенному объему тела вращения производящего круга

Объем тела вращения верзьеры вокруг оси симметрии имеет бесконечный объем

Строится окружность диаметра $ a$ и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.

Трамплин-рампа российского авианосца Адмирал флота Советского Союза Кузнецов образован верзьерой Аньези. Когда самолет сходит с рампы, он находится в идеальном угле атаки при скорости 180—200 км/ч (для Су-27). Теоретически, с рампы-трамплина может взлететь самолет любой взлетной массы.

Кадры взлета и посадки самолетов с авианесущего крейсера «Адмирал Кузнецов» — YouTube Запечатлены разгон и взлет самолетов с носового трамплина, а также их посадка при помощи аэрофинишера. трамплинный взлет и посадка на палубу являются сложнейшими элементами полета. При колоссальной перегрузке в 8-9 единиц пилот должен продемонстрировать ювелирную точность, чтобы попасть в небольшой участок между аэрофинишерами

Сумма прямой и гиперболы

прямая будет асимптотой для графика суммы

Отношение двух парабол

Если ветви смотрят в одну сторону, то на бесконечности отношение стремится к положительной константе, а если в разные стороны — то к отрицательной константе. Это дает горизонтальные асимптоты на + и — бесконечности.

В точках, где знаменатель обращается в ноль (одна или две точки) получаем вертикальные асимптоты.

Элементарные преобразования графиков функций

Элементарные преобразования графика функции y = f (x ) перечислены в следующей таблице.

В случае k > 1 происходит
сжатие графика функции
y = f (x) в k раз к оси Oy .

В случае 0 происходит растяжение графика функции
y = f (x) в раз от оси Oy .

В случае – 1 происходит растяжение графика функции
y = f (x) в раз от оси Oy
с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy .

В случае k > 1 происходит
растяжение графика функции
y = f (x) в k раз от оси Ox .

В случае 0 происходит
сжатие графика функции
y = f (x) в раз к оси Ox .

В случае – 1 происходит
сжатие графика функции
y = f (x) в раз к оси Ox
с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox .

Часть графика функции y = f (x), расположенная в области
,
остаётся на месте
.
Часть графика функции y = f (x) , расположенная в области
y
симметрично отражается относительно оси Ox .

Ось Oy является осью симметрии
графика функции y = f (| x|) .

Часть графика функции y = f (x), расположенная в области

остаётся на месте.
Часть графика функции
y = f (| x|),
расположенная в области
x
получается из части графика, расположенной в области

при помощи симметричного отражения относительно оси Oy .

В случае k > 1 происходит сжатие графика функции
y = f (x) в k раз к оси Oy .

В случае 0 происходит растяжение графика функции y = f (x) в раз от оси Oy .

В случае – 1 происходит растяжение графика функции y = f (x) в раз от оси Oy с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy .

В случае k > 1 происходит растяжение графика функции y = f (x) в k раз от оси Ox .

В случае 0 происходит сжатие графика функции y = f (x) в раз к оси Ox .

В случае – 1 происходит сжатие графика функции y = f (x) в раз к оси Ox с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox .

Часть графика функции
y = f (x), расположенная в области , остаётся на месте. Часть графика функции y = f (x) , расположенная в области y симметрично отражается относительно оси Ox .

Ось Oy является осью симметрии графика функции y = f (| x|) .

Часть графика функции
y = f (x), расположенная в области остаётся на месте. Часть графика функции y = f (| x|), расположенная в области x получается из части графика, расположенной в области при помощи симметричного отражения относительно оси Oy .

Параграф 2.3. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований известных графиков функций.

Работу выполнил: Кондратьева В.А. студент группы 45.2

Пункт 2.3. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований известных графиков функций.

ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ:

1.На примерах объясните, как из графика функции y = f(x) можно получить график функции:
1)y = -f(x) 2)y = f(-x) 3)y = f(x — a)
4)y = f(x) + c 5)y = kf(x), где k > 0 6)y = f(ax), где a > 0
7)y = |f(x)| 8)y = f(|x|)

2. Обоснуйте геометрические преобразования, с помощью которых из графика функции
y = f(x) можно получить графики указанных выше функций.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ

УПРАЖНЕНИЕ 1. Постройте график функции:
y = 1/(x + 3)
УПРАЖНЕНИЕ 2. Постройте график функции:
y = — |2x — 2|
УПРАЖНЕНИЕ 3. Постройте график функции:
y = √(4 — |x|)


УПРАЖНЕНИЯ К ПАРАГРАФУ

Постройте графики функций и соответствий (1-7):
1. 1)y = |x — 5| 2)y = |x| — 5 3)y = ||x| — 5| 4)|y| = x — 5

2. 1)y = x² — 9 2)y = |x² — 9| 3)y = |x²| — 9 4)|y| = x² — 9

3. 1)y = (x + 1) ² 2)y = (|x| + 1) ² 3)y = (x + 1) ² — 3 4)y = |(x + 1) ² — 3|

4. 1)y = 1/(x + 2) ² 2)y = |1/(x + 2)| 3)y = 1/(|x| + 2) 4)|y| = 1/(x + 2)

5. 1)y = -2/x ² 2)y = 3 — 2/x 3)y = -2/(x — 1) 4)y = -2/|x|

6. 1)y = √(x — 3) 2)y = √(x) — 3 3)y = √(|x| — 3)) 4)y = |√(x) — 3|
5)y = |√(|x|) — 3| 6)|y| = √(|x| — 3)) 7)|y| = √(x) — 3

7. 1)y = -√(x) 2)y = -√(x) + 4 3)y = -√(|x|) 4)y = -√(x — 1)

8. Функция y = f(x) задана на промежутке [0; 12] и имеет график, изображённый на рисунке 38,а.
Постройте графики ыункций ( и соответствий 9 и 10).

1)y = -f(x) 2)y = f(-x) 3)y = |f(x)| 4)y = f(|x|)
5)y = 2f(x) 6)y = f(2x) 7)y = (1/2)f(x) 8)y = f(x/2|)
9)|y| = f(x) 10)|y| = f(|x|)

9. Выполните задания упражнения 8 для функции y = f(x), заданной на промежутке
[-14; 0], график которой изображён на рисунке 38, б.

Преобразования графиков

Если Вы знаете, как выглядят графики простейших элементарных функций, или умеете быстро строить их по характерным точкам, то сумеете также быстро построить на их основе графики более сложных функций того же класса. Для этого существуют правила преобразования графиков функций. Они легко запоминаются, но если Вы всё же не уверены в результате, проверьте его по одной-двум хорошим точкам. Эти правила, разумеется, общие для всех функций, а не только для тех, которые изучают в школе, поэтому известный график дальше будем называть заданным.

Чтобы построить графики других функций, содержащих аргумент (x) под знаком квадратного корня, воспользуемся перечисленными выше правилами. Заданный график повторим во вновь начерченных осях «карандашом бледно», требуемый график, который получится после преобразований, сделаем более интенсивным. В тетради лишнее можно будет удалить ластиком, останется только результат выполнения задания.

Заметим, что параллельный перенос графика относительно одной из осей в какую-либо сторону равносилен переносу этой оси относительно графика в противоположную сторону. Поэтому 3-е и 6-е правила можно объединить следующим образом: чтобы построить график функции
y = f(xm) + n
нужно выполнить параллельный перенос всей плоскости координат так, чтобы началом новой системы координат xy была точка O(m;n). Очевидно, что вместо того, чтобы дважды перерисовывать график, проще перечертить оси.

Пример 7. Задан график функции y = √x _ . Построить график функции y = √x + 3 ____ − 1.

В этом случае m = −3, n = −1. Если есть затруднения в определении знаков m и n, то записывайте формулу функции так, чтобы она совпадала с правилом

Построение выполняем так. Чертим оси нужной системы координат. Находим точку с координатами (−3;−1). Проводим через неё «бледно карандашом» прямые параллельные основным осям. Это вспомогательная система координат. В этой (карандашной) системе координат строим график y = √x _ . Относительно основной системы координат, он является графиком функции y = √x + 3 ____ − 1. Т.е., если карандаш удалить ластиком, то останется график, который требовалось построить.


Этот график построен двумя последовательными параллельными переносами — на 3 единицы влево и на 1 единицу вниз.

Этот график построен с использованием новой системы координат. Видно, что обе сиреневые кривые относительно синих осей располагаются абсолютно одинаково.

Если нужно скомбинировать только параллельные переносы, чтобы построить график функции, то всё равно в каком порядке их выполнять, и всё равно, что переносить — оси или кривые. Но если нужно построить график сложной функции, используя и перенос, и растяжение-сжатие, и отражения, то следует тщательно соблюдать порядок выполнения операций.

Последовательность преобразований при построении графиков.

Пример 8. Задан график функции y = √x _ . Построить график функции y = −0,5 √3x − 12 ______ + 2.

1. Записываем формулу функции в виде y = −0,5· √3·(x − 4) _______ + 2 ,
т.е. выносим за скобки коэффициент при х под знаком квадратного корня с учетом того, что 12/3 = 4.
2. Строим известный график функции. ——
3. Производим сжатие в 3 раза к оси Oy. ——

4. — (преобразование симметрии относительно оси Oy не требуется, т.к. k = 3 > 0).
5. Сдвигаем полученный график на 4 единицы вправо. ——
6. Производим сжатие в 2 раза (растяжение с коэффициентом 0,5) к оси . ——
7. Симметрично отражаем график относительно оси Ox. ——
8. Сдвигаем последний на 2 единицы вверх. Получили требуемый график. ——

Проверим результат по «удобным» точкам. Например, x1 = 4 и x2 = 16.
y1 = −0,5 √3·4 − 12 _____ + 2 = 2.
y2 = −0,5 √3·16 − 12 _____ + 2 = −1.
Точки с координатами (4;2) и (16;−1) действительно принадлежат последнему графику.

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: